Arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre

La suite $(u_n)$. On calcule la différence de deux termes consécutifs : $$u_{n+1}-u_n=(12-5(n+1))-(12-5n)=-5.$$ Ce résultat ne dépend pas de $n$ : la suite est arithmétique de raison $-5$. Les termes sont $12$, $7$, $2$, $-3$, et l'on retranche bien $5$ à chaque fois.

La suite $(v_n)$. Les termes sont non nuls, on peut donc calculer le quotient : $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n}=\frac{1}{2}.$$ Ce quotient ne dépend pas de $n$ : la suite est géométrique de raison $\frac{1}{2}$. Les termes sont $4$, $2$, $1$, $0,5$.

La suite $(w_n)$. Ni l'une ni l'autre. Les premiers termes sont $1$, $2$, $5$, $10$ : les différences valent $1$, $3$, $5$ — elles ne sont pas constantes, donc la suite n'est pas arithmétique. Les quotients valent $2$, $2,5$, $2$ — ils ne sont pas constants non plus, donc elle n'est pas géométrique.

Le point de méthode. Pour affirmer une nature, on calcule sur un $n$ quelconque, jamais sur les premiers termes. Pour la réfuter, en revanche, deux différences inégales suffisent : c'est un contre-exemple.