Suites réelles

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une suite qui converge vers ℓ : à partir d'un certain rang, tous ses termes restent dans la bande de largeur 2ε.

Une suite, c'est une liste de nombres rangés dans l'ordre : le chiffre d'affaires de chaque trimestre, le capital d'un placement année après année, le capital qui reste dû sur un emprunt après chaque mensualité. Toute la gestion financière tient dans deux modèles élémentaires — on ajoute toujours la même somme, ou on multiplie toujours par le même coefficient — et dans leur combinaison.

AttentionCe chapitre ne parle pas encore de comportement

Le programme réserve au second semestre tout ce qui concerne le comportement d'une suite : « Les notions de comportement et de limite ne seront abordées qu'au second semestre. » On ne dira donc ici ni « converge », ni « tend vers », ni « croissante » au sens technique : on calcule des termes, des termes généraux et des sommes.

De même, « Aucune étude générale de suites $u_{n + 1} = f (u_{n})$ n'est au programme » : on ne traite que les trois modèles usuels et les suites qui s'y ramènent par un changement d'écriture.

3.1 Ce qu'est une suite

Définition 3.1Suite réelle

Une suite réelle est une famille de nombres réels indexée par les entiers : à chaque entier $n$ on associe un réel noté $u_{n}$ , appelé terme de rang $n$ . La suite entière se note $(u_{n})$ .

L'indice commence souvent à $0$ , parfois à $1$ : c'est l'énoncé qui le dit, et s'en souvenir évite la moitié des erreurs de comptage.

ImportantDeux façons de définir une suite, et une seule à savoir lire

Par une formule explicite : $u_{n}$ s'écrit directement en fonction de $n$ , par exemple $u_{n} = n^{2} - 8 n + 20$ . On atteint $u_{100}$ d'un seul calcul.
Par récurrence : on donne le premier terme et le passage d'un terme au suivant, par exemple $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 3$ . Pour atteindre $u_{100}$ , il faut passer par les cent premiers.

Tout le chapitre consiste, pour les trois modèles au programme, à passer de la seconde écriture à la première.

Python : Calculer des termes, dans les deux écritures


def terme(u0, r, n):
    u = u0
    for k in range(n):
        u = u + r
    return u

for n in [0, 1, 5, 10]:
    print(n, terme(5, 3, n), 5 + 3*n)
# 0 5 5 / 1 8 8 / 5 20 20 / 10 35 35

La deuxième colonne parcourt la récurrence, la troisième applique la formule explicite : elles coïncident. La boucle fait $n$ tours, la formule un seul calcul — voilà tout l'intérêt de trouver le terme général.

3.2 Suites arithmétiques

Définition 3.2Suite constante, suite arithmétique

$(u_{n})$ est constante si $u_{n + 1} = u_{n}$ pour tout $n$ .

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ s'il existe un réel $r$ tel que

$u_{n + 1} = u_{n} + r pour tout n .$

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

◆Théorème 3.3Terme général d'une suite arithmétique

Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$ , alors

$u_{n} = u_{0} + n r pour tout n \geq 0.$

Plus généralement, pour tous rangs $n$ et $p$ : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .

Démonstration

Par récurrence sur $n$ . Pour $n = 0$ , $u_{0} + 0 \times r = u_{0}$ . Si $u_{n} = u_{0} + n r$ pour un $n$ fixé, alors $u_{n + 1} = u_{n} + r = u_{0} + n r + r = u_{0} + (n + 1) r$ , ce qui est la formule au rang suivant.

ImportantComment montrer qu'une suite est arithmétique

On calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ et l'on montre que le résultat ne dépend pas de $n$ . Ce nombre est alors la raison.

Trois différences égales ne suffisent pas : la démonstration se fait sur un $n$ quelconque, jamais sur les premiers termes.

Exemple 3.4Un salaire à progression fixe

Un salarié gagne $24000$ euros la première année, et son salaire augmente de $900$ euros chaque année. En notant $s_{n}$ le salaire de l'année de rang $n$ (avec $s_{0} = 24000$ ), on a $s_{n + 1} = s_{n} + 900$ : la suite est arithmétique de raison $900$ , donc

$s_{n} = 24000 + 900 n .$

La neuvième année correspond à $n = 8$ : $s_{8} = 24000 + 7200 = 31200$ euros.

Exercices du chapitre

Reconnaître le modèle corrigé
Prouver la nature d'une suite corrigé
Un loyer qui augmente d'un montant fixe corrigé
Un amortissement linéaire corrigé
Un capital placé corrigé
Simples contre composés corrigé

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