Suites réelles

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 · prépa ECT, 1re année

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Une suite, c'est une liste de nombres rangés dans l'ordre : le chiffre d'affaires de chaque trimestre, le capital d'un placement année après année, le capital qui reste dû sur un emprunt après chaque mensualité. Toute la gestion financière tient dans deux modèles élémentaires — on ajoute toujours la même somme, ou on multiplie toujours par le même coefficient — et dans leur combinaison.

AttentionCe chapitre ne parle pas encore de comportement

Le programme réserve au second semestre tout ce qui concerne le comportement d'une suite : « Les notions de comportement et de limite ne seront abordées qu'au second semestre. » On ne dira donc ici ni « converge », ni « tend vers », ni « croissante » au sens technique : on calcule des termes, des termes généraux et des sommes.

De même, « Aucune étude générale de suites $u_{n + 1} = f (u_{n})$ n'est au programme » : on ne traite que les trois modèles usuels et les suites qui s'y ramènent par un changement d'écriture.

3.1 Ce qu'est une suite

Définition 3.1Suite réelle

Une suite réelle est une famille de nombres réels indexée par les entiers : à chaque entier $n$ on associe un réel noté $u_{n}$ , appelé terme de rang $n$ . La suite entière se note $(u_{n})$ .

L'indice commence souvent à $0$ , parfois à $1$ : c'est l'énoncé qui le dit, et s'en souvenir évite la moitié des erreurs de comptage.

ImportantDeux façons de définir une suite, et une seule à savoir lire

Par une formule explicite : $u_{n}$ s'écrit directement en fonction de $n$ , par exemple $u_{n} = n^{2} - 8 n + 20$ . On atteint $u_{100}$ d'un seul calcul.
Par récurrence : on donne le premier terme et le passage d'un terme au suivant, par exemple $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 3$ . Pour atteindre $u_{100}$ , il faut passer par les cent premiers.

Tout le chapitre consiste, pour les trois modèles au programme, à passer de la seconde écriture à la première.

Python : Calculer des termes, dans les deux écritures


def terme(u0, r, n):
    u = u0
    for k in range(n):
        u = u + r
    return u

for n in [0, 1, 5, 10]:
    print(n, terme(5, 3, n), 5 + 3*n)
# 0 5 5 / 1 8 8 / 5 20 20 / 10 35 35

La deuxième colonne parcourt la récurrence, la troisième applique la formule explicite : elles coïncident. La boucle fait $n$ tours, la formule un seul calcul — voilà tout l'intérêt de trouver le terme général.

3.2 Suites arithmétiques

Définition 3.2Suite constante, suite arithmétique

$(u_{n})$ est constante si $u_{n + 1} = u_{n}$ pour tout $n$ .

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ s'il existe un réel $r$ tel que

$u_{n + 1} = u_{n} + r pour tout n .$

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

◆Théorème 3.3Terme général d'une suite arithmétique

Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$ , alors

$u_{n} = u_{0} + n r pour tout n \geq 0.$

Plus généralement, pour tous rangs $n$ et $p$ : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .

Démonstration

Par récurrence sur $n$ . Pour $n = 0$ , $u_{0} + 0 \times r = u_{0}$ . Si $u_{n} = u_{0} + n r$ pour un $n$ fixé, alors $u_{n + 1} = u_{n} + r = u_{0} + n r + r = u_{0} + (n + 1) r$ , ce qui est la formule au rang suivant.

ImportantComment montrer qu'une suite est arithmétique

On calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ et l'on montre que le résultat ne dépend pas de $n$ . Ce nombre est alors la raison.

Trois différences égales ne suffisent pas : la démonstration se fait sur un $n$ quelconque, jamais sur les premiers termes.

Exemple 3.4Un salaire à progression fixe

Un salarié gagne $24000$ euros la première année, et son salaire augmente de $900$ euros chaque année. En notant $s_{n}$ le salaire de l'année de rang $n$ (avec $s_{0} = 24000$ ), on a $s_{n + 1} = s_{n} + 900$ : la suite est arithmétique de raison $900$ , donc

$s_{n} = 24000 + 900 n .$

La neuvième année correspond à $n = 8$ : $s_{8} = 24000 + 7200 = 31200$ euros.

3.3 Suites géométriques

Définition 3.5Suite géométrique

$(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ s'il existe un réel $q$ tel que

$u_{n + 1} = q u_{n} pour tout n .$

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

◆Théorème 3.6Terme général d'une suite géométrique

Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{0}$ , alors $u_{n} = u_{0} q^{n}$ pour tout $n \geq 0$ , et plus généralement $u_{n} = u_{p} q^{n - p}$ .

Deux exemples suffisent à voir tout ce qu'une raison peut faire : selon que $q$ dépasse $1$ ou non, les mêmes multiplications répétées font exploser les termes ou les rabattent vers zéro.

ImportantUn taux de

t

pour cent, c'est une raison

1 + t

Augmenter de $5 %$ , c'est multiplier par $1, 05$ . Diminuer de $5 %$ , c'est multiplier par $0, 95$ . Un capital placé à $5 %$ par an suit donc une suite géométrique de raison $1, 05$ , et non arithmétique de raison $500$ euros : c'est toute la différence entre intérêts composés et intérêts simples.

Exemple 3.7Simples ou composés, sur vingt ans

Un capital de $10$ milliers d'euros est placé à $5 %$ par an.

À intérêts simples, les intérêts sont calculés chaque année sur le capital initial : $C_{n} = 10 + 0, 5 n$ , suite arithmétique. Au bout de $20$ ans : $C_{20} = 20$ .
À intérêts composés, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts : $C_{n} = 10 \times 1, 0 5^{n}$ , suite géométrique. Au bout de $20$ ans : $C_{20} = 10 \times 1, 0 5^{20} \approx 26, 53$ .

Le placement composé rapporte donc environ $6530$ euros de plus, sur le même capital et au même taux.

3.4 Suites arithmético-géométriques

Définition 3.8Suite arithmético-géométrique

$(u_{n})$ est arithmético-géométrique s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que

$u_{n + 1} = a u_{n} + b pour tout n .$

Pour $b = 0$ elle est géométrique, pour $a = 1$ elle est arithmétique : les deux modèles précédents en sont des cas particuliers.

C'est le modèle de tout compte qui subit à la fois un taux et un mouvement fixe : un emprunt sur lequel courent des intérêts et que l'on rembourse d'une annuité, un fichier client qui perd un pourcentage de ses membres et en gagne un nombre fixe. Aucune formule n'est à retenir : on ramène toujours ce modèle au précédent.

ImportantLa méthode, en trois temps

On suppose $a \neq = 1$ .

Chercher le point fixe $x$ , solution de $x = a x + b$ , c'est-à-dire $x = \frac{b}{1 - a}$ .
Poser $v_{n} = u_{n} - x$ . Alors $v_{n + 1} = u_{n + 1} - x = a u_{n} + b - (a x + b) = a (u_{n} - x) = a v_{n}$ : la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ .
Revenir : $v_{n} = v_{0} a^{n}$ , donc $u_{n} = x + (u_{0} - x) a^{n}$ .

Cette formule ne se retient pas : c'est la méthode qui se retient, et le programme le dit — « on introduira la méthode sur des exemples ».

Exemple 3.9Un emprunt remboursé par annuités constantes

On emprunte $10000$ euros au taux annuel de $5 %$ et l'on rembourse $2500$ euros par an. En notant $C_{n}$ le capital restant dû après $n$ années :

$C_{0} = 10000, C_{n + 1} = 1, 05 C_{n} - 2 500.$

Point fixe. $x = 1, 05 x - 2500$ donne $0, 05 x = 2500$ , soit $x = 50000$ .

Suite auxiliaire. $v_{n} = C_{n} - 50000$ est géométrique de raison $1, 05$ , avec $v_{0} = - 40000$ . Donc

$C_{n} = 50000 - 40000 \times 1, 0 5^{n} .$

Contrôle. $C_{1} = 50000 - 42000 = 8000$ , et directement $1, 05 \times 10000 - 2500 = 8000$ . De même $C_{4} = 1379, 75$ : après quatre ans, il reste moins de $1400$ euros à rembourser.

Python : Le capital restant dû, année par année


C = 10000.0
for annee in range(1, 5):
    interets = 0.05 * C
    C = C + interets - 2500
    print(annee, round(interets, 2), round(C, 2))
# 1 500.0 8000.0
# 2 400.0 5900.0
# 3 295.0 3695.0
# 4 184.75 1379.75

Trois lignes de boucle reconstituent le tableau d'amortissement d'une banque. Les intérêts baissent parce qu'ils portent sur un capital qui baisse : c'est exactement ce que dit la récurrence.

3.5 Le symbole somme

Définition 3.10Notation sigma

Pour des réels $u_{1}, \dots, u_{n}$ , on note

$i = 1 \sum n u_{i} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} .$

L'indice $i$ est muet : $\sum_{i = 1}^{n} u_{i}$ et $\sum_{k = 1}^{n} u_{k}$ désignent le même nombre.

Une somme se lit toujours de la même façon : on repère la borne du bas, celle du haut, et l'on écrit le premier terme, le deuxième, puis le dernier. Tant que ces trois termes ne sont pas écrits, on ne calcule rien.

◆Théorème 3.11Les deux seules règles

Pour tout réel $a$ et toutes familles $(u_{i})$ et $(v_{i})$ :

$i = 1 \sum n a u_{i} = a i = 1 \sum n u_{i}, i = 1 \sum n (u_{i} + v_{i}) = i = 1 \sum n u_{i} + i = 1 \sum n v_{i} .$

Une constante sort de la somme ; une somme se coupe en deux.

AttentionCompter les termes, pas les indices

$\sum_{i = 1}^{n} 1 = n$ , mais $\sum_{i = 0}^{n} 1 = n + 1$ : une somme de $0$ à $n$ a $n + 1$ termes. Plus généralement, de $p$ à $n$ il y a $n - p + 1$ termes.

C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle ne se voit pas : le résultat reste plausible, il est simplement faux d'un terme.

AttentionCe qui ne sort pas d'une somme

$\sum u_{i} v_{i}$ n'est pas $(\sum u_{i}) (\sum v_{i})$ , et $\sum u_{i}^{2}$ n'est pas $(\sum u_{i})^{2}$ . Sur $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 2$ : $1 + 4 = 5$ d'un côté, $3^{2} = 9$ de l'autre. Seules la constante multiplicative et l'addition traversent le symbole.

3.6 Les sommes usuelles

◆Théorème 3.12Somme des

n

premiers entiers

Pour tout entier $n \geq 1$ : $k = 1 \sum n k = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

La démonstration par récurrence figure au chapitre 1. En voici l'idée, celle que l'on attribue au jeune Gauss, et qui a l'avantage de faire apparaître la formule au lieu de la vérifier.

◆Théorème 3.13Somme des puissances d'un même nombre

Pour tout réel $q \neq = 1$ et tout entier $n \geq 0$ :

$k = 0 \sum n q^{k} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .$

Pour $q = 1$ , la somme vaut simplement $n + 1$ .

Là encore, le résultat se voit mieux qu'il ne se retient : on écrit la somme, on la multiplie par $q$ , et l'on constate que les deux lignes ne diffèrent que par leurs extrémités.

ImportantLes deux sommes de gestion, dans la forme où on les emploie

Suite arithmétique : la somme de termes consécutifs vaut

$(nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2} .$

Suite géométrique de raison $q \neq = 1$ :

$(premier terme) \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q} .$

Dans les deux cas, la première chose à écrire est le nombre de termes.

Exemple 3.14Deux calculs de gestion

Salaires cumulés. Le salarié du paragraphe 3.2 gagne $s_{n} = 24000 + 900 n$ . Sur ses neuf premières années ( $n$ de $0$ à $8$ , soit $9$ termes) il aura touché

$9 \times \frac{24 000 + 31 200}{2} = 9 \times 27600 = 248400 euros .$

Versements capitalisés. On verse $1000$ euros en début de chaque année pendant $10$ ans sur un compte à $4 %$ . Les versements sont capitalisés et forment une suite géométrique de raison $1, 04$ ; leur somme vaut

$1000 \times \frac{1 , 0 4 ^{10} - 1}{1 , 04 - 1} \approx 12006, 11 euros,$

pour $10000$ euros versés.

Python : Une somme, deux façons, et deux résultats


def somme_geo(u0, q, n):
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + u0 * q**k
    return s

print(somme_geo(1000, 1.04, 10))     # 12006.107122958601
print(1000 * (1.04**10 - 1) / 0.04)  # 12006.107122958609

Les deux nombres diffèrent au douzième chiffre. Ce n'est pas une faute de formule : la boucle accumule dix arrondis, la formule un seul. En gestion on arrondit au centime, et les deux donnent $12006, 11$ euros — mais il faut savoir d'où vient l'écart.

3.7 Ce que paie vraiment un emprunteur

Exemple 3.15Le tableau d'amortissement

Reprenons l'emprunt de $10000$ euros à $5 %$ , remboursé par annuités de $2500$ euros. Chaque annuité se coupe en deux : les intérêts de l'année, égaux à $5 %$ du capital restant dû, et l'amortissement, qui est ce qui rembourse vraiment.

année	intérêts	amortissement	capital restant
$1$	$500, 00$	$2000, 00$	$8000, 00$
$2$	$400, 00$	$2100, 00$	$5900, 00$
$3$	$295, 00$	$2205, 00$	$3695, 00$
$4$	$184, 75$	$2315, 25$	$1379, 75$
$5$	$68, 99$	$1379, 75$	$0$

La colonne des amortissements totalise $10000$ euros : c'est le capital emprunté, ni plus ni moins.

iRemarqueLe coût du crédit se lit sur une somme

L'emprunteur verse $4 \times 2500 + 1448, 74 = 11448, 74$ euros pour $10000$ euros empruntés : le crédit lui a coûté $1448, 74$ euros, qui sont exactement la somme de la colonne des intérêts.

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