Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 · prépa ECT, 1re année

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Tout le reste de l'année repose sur ce chapitre. Une limite mal calculée, une dérivée fausse, une probabilité négative : neuf fois sur dix, l'erreur n'est pas dans la notion nouvelle, elle est dans un développement bâclé ou dans une inégalité multipliée par un nombre négatif sans changer de sens. On reprend donc ici les outils de calcul du lycée — puissances, identités remarquables, inégalités, second degré, valeur absolue — en les installant sur des situations de gestion : prix, remises, coûts, recettes.

AttentionCe chapitre ne fait aucune théorie

Le programme est catégorique : « Toute étude théorique sur les polynômes est exclue. On identifie polynôme et fonction polynomiale. » Il n'y aura donc ici ni indéterminée abstraite ni construction formelle : un polynôme est la fonction qu'il calcule, et on le manipule pour résoudre des équations, factoriser, étudier un signe.

2.1 Nombres, puissances, racines

Définition 2.1Les ensembles de nombres

On emboîte quatre ensembles : $N \subset Z \subset Q \subset R$ .

$N$ sont les entiers naturels ; $Z$ y ajoute les négatifs ; $Q$ est l'ensemble des quotients $\frac{p}{q}$ d'entiers ( $q \neq = 0$ ) ; $R$ est l'ensemble de tous les nombres qui mesurent une longueur, un prix, un taux. La dernière inclusion est stricte : $2$ n'est le quotient d'aucun couple d'entiers.

Définition 2.2Puissances entières et leurs règles

Pour $x$ réel non nul et $n$ entier naturel non nul, $x^{n} = x \times \dots \times x$ ( $n$ facteurs), $x^{0} = 1$ et $x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$ . Pour $n$ , $m$ entiers relatifs :

$x^{n + m} = x^{n} x^{m}, \frac{x ^{n}}{x ^{m}} = x^{n - m}, (x^{n})^{m} = x^{nm},$

$(x y)^{n} = x^{n} y^{n}, (\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}} (y \neq = 0) .$

Exemple 2.3La notation scientifique d'un chiffre d'affaires

Un groupe réalise $3240000000$ euros de chiffre d'affaires, que l'on écrit $3, 24 \times 1 0^{9}$ euros. Avec $5400$ salariés, le chiffre d'affaires par salarié vaut

$\frac{3 , 24 \times 1 0 ^{9}}{5 , 4 \times 1 0 ^{3}} = \frac{3 , 24}{5 , 4} \times 1 0^{9 - 3} = 0, 6 \times 1 0^{6} = 600000 euros .$

On a séparé les mantisses des puissances de dix : c'est tout l'intérêt de la notation.

AttentionTrois fautes qui coûtent un exercice entier

$(x + y)^{n}$ n'est pas $x^{n} + y^{n}$ : sur $x = y = 1$ et $n = 2$ , $4$ d'un côté et $2$ de l'autre. $- x^{2}$ n'est pas $(- x)^{2}$ : la puissance s'applique avant le signe, $- 3^{2} = - 9$ tandis que $(- 3)^{2} = 9$ . Enfin $x^{- 1}$ est $\frac{1}{x}$ , jamais $- x$ .

Proposition 2.4Racine carrée

Pour $a \geq 0$ , $a$ est l'unique réel positif de carré $a$ ; la racine d'un nombre strictement négatif n'existe pas dans $R$ . Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$ab = a b, \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (b > 0), (a)^{2} = a .$

Et pour tout réel $x$ , quel que soit son signe : $x^{2} = ∣ x ∣$ .

AttentionLa racine ne traverse pas une somme

$9 + 16 = 3 + 4 = 7$ , tandis que $9 + 16 = 25 = 5$ . Racines et puissances traversent les produits et les quotients, jamais les sommes.

Python : Les puissances de dix, et une surprise


ca = 3.24e9              # chiffre d'affaires, en euros
print(ca)                # 3240000000.0
print(2**10, 10**(-3))   # 1024 0.001
print(0.1 + 0.2)         # 0.30000000000000004
print(0.1 + 0.2 == 0.3)  # False

Les deux dernières lignes ne sont pas une faute de Python : un ordinateur code les décimaux en base deux, et $0, 1$ n'y a pas d'écriture finie. On ne teste donc jamais l'égalité de deux résultats de calcul flottant.

2.2 Développer, factoriser

◆Théorème 2.5Les trois identités remarquables au programme

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}, a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) .$

Ces trois égalités se lisent sur un dessin, et c'est la meilleure façon de ne plus jamais oublier le double produit $2 ab$ de la première.

On les emploie dans les deux sens. Pour développer : $(3 x - 2)^{2}$ est $(a - b)^{2}$ avec $a = 3 x$ et $b = 2$ , donc vaut $9 x^{2} - 12 x + 4$ . Pour factoriser : $25 x^{2} - 49$ est $a^{2} - b^{2}$ avec $a = 5 x$ et $b = 7$ , donc $25 x^{2} - 49 = (5 x - 7) (5 x + 7)$ . Mais avant toute identité remarquable, on cherche un facteur commun : $6 x^{3} - 24 x = 6 x (x^{2} - 4) = 6 x (x - 2) (x + 2)$ . Le facteur commun d'abord, l'identité ensuite — on ne factorise jamais d'un coup, on factorise par couches.

Exemple 2.6Une hausse puis une baisse ne rendent pas le prix

Un article vaut $200$ euros. On l'augmente de $10 %$ , puis on solde le nouveau prix de $10 %$ : le prix final est $200 \times 1, 10 \times 0, 90 = 198$ euros. L'identité remarquable dit pourquoi : pour un prix $p$ et un taux $t$ ,

$p (1 + t) (1 - t) = p (1 - t^{2}),$

donc le prix final est toujours inférieur au prix de départ, de $p t^{2}$ — ici $200 \times 0, 01 = 2$ euros. L'ordre des deux opérations n'y change rien.

On mesurera au passage, en Python, que $200 \times 1, 10 \times 0, 90$ rend $198, 00000000000003$ alors que $200 \times (1 - 0, 1 0^{2})$ rend $198, 0$ : une expression factorisée fait moins d'opérations, donc moins de bruit.

2.3 Inégalités et intervalles

◆Théorème 2.7Ce qu'une inégalité supporte

Soient $a \leq b$ deux réels. Pour tout réel $c$ : $a + c \leq b + c$ . Pour $λ > 0$ : $λa \leq λb$ . Pour $λ < 0$ : $λa \geq λb$ — le sens s'inverse. Enfin, si $a$ et $b$ sont de même signe et non nuls, $\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}$ .

AttentionLa faute la plus fréquente de l'année

Résoudre $- 2 x \leq 6$ , c'est diviser par $- 2$ : on obtient $x \geq - 3$ , et pas $x \leq - 3$ . Contrôle immédiat : $- 2 \times 0 = 0 \leq 6$ , et $0$ est bien dans $[- 3; + \infty [$ . Le réflexe à prendre : avant de multiplier une inégalité, se demander le signe du facteur.

Définition 2.8Intervalles

Pour $a \leq b$ réels, $[a; b]$ est l'ensemble des $x$ tels que $a \leq x \leq b$ , et $] a; b [$ celui des $x$ tels que $a < x < b$ ; de même $[a; b [$ et $] a; b]$ pour les intervalles semi-ouverts. Du côté de l'infini le crochet est toujours ouvert : $] - \infty; b]$ , $[a; + \infty [$ .

Résolvons par exemple $3 x - 5 \leq 7$ . On ajoute $5$ : $3 x \leq 12$ . On divise par $3$ , qui est positif, donc le sens ne change pas : $x \leq 4$ . L'ensemble des solutions est $] - \infty; 4]$ , et $x = 4$ donne bien $3 \times 4 - 5 = 7 \leq 7$ : la borne est prise.

2.4 Équations, inéquations, systèmes

ImportantProduit nul, quotient nul

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $A B = 0 ⟺ A = 0$ ou $B = 0$ . Un quotient est nul si et seulement si son numérateur l'est, la valeur interdite du dénominateur étant écartée d'abord. C'est la raison de factoriser : $x^{2} = 6 x - 8$ ne se lit pas, tandis que $(x - 2) (x - 4) = 0$ se lit d'un coup.

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues s'écrit

${a x + b y a^{'} x + b^{'} y = c = c^{'}$

et le résoudre, c'est trouver tous les couples $(x, y)$ qui vérifient les deux lignes à la fois.

ImportantDeux méthodes, et un contrôle qui ne coûte rien

Par substitution, on tire une inconnue d'une ligne et on la remplace dans l'autre. Par combinaison, on multiplie les lignes pour faire disparaître une inconnue en les ajoutant. Dans les deux cas, on reporte le couple trouvé dans les deux équations de départ : une solution non vérifiée n'est pas une solution.

Exemple 2.9Deux tarifs, une recette

Un théâtre vend $200$ places, au tarif plein $25$ euros et au tarif réduit $15$ euros, et encaisse $3800$ euros. En notant $x$ le nombre de places au tarif réduit et $y$ celui au tarif plein, on a $x + y = 200$ et $15 x + 25 y = 3800$ .

La première équation donne $y = 200 - x$ ; en substituant, $15 x + 5000 - 25 x = 3800$ , soit $- 10 x = - 1200$ et $x = 120$ , donc $y = 80$ .

Contrôle. $120 + 80 = 200$ , et $15 \times 120 + 25 \times 80 = 1800 + 2000 = 3800$ .

2.5 Le second degré

Définition 2.10Trinôme, discriminant

Un trinôme du second degré est une expression $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ . Son discriminant est $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

◆Théorème 2.11Racines, factorisation et signe

Soit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ .

Si $Δ > 0$ : deux racines $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ , et $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Si $Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ , et $f (x) = a (x - x_{0})^{2}$ .
Si $Δ < 0$ : aucune racine réelle, aucune factorisation.

Dans tous les cas $f (x)$ est du signe de $a$ , sauf strictement entre les racines lorsque $Δ > 0$ , où il est du signe contraire.

Proposition 2.12Somme et produit des racines

Lorsque $Δ \geq 0$ , les racines vérifient $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . Cela sert à contrôler un calcul et à deviner une racine évidente : si l'on cherche deux nombres de somme $60$ et de produit $500$ , on essaie $10$ et $50$ , et l'on s'épargne un discriminant.

Exemple 2.13Le bénéfice d'un atelier

Un atelier produit $q$ articles par jour et son bénéfice quotidien, en euros, vaut $B (q) = - q^{2} + 60 q - 500$ . Ici $a = - 1$ , $b = 60$ , $c = - 500$ , donc $Δ = 3600 - 2000 = 1600$ et $Δ = 40$ : les racines sont $\frac{- 60 - 40}{- 2} = 50$ et $\frac{- 60 + 40}{- 2} = 10$ .

Comme $a < 0$ , $B$ est positif entre les racines : l'atelier gagne de l'argent tant qu'il produit entre $10$ et $50$ articles, et en perd au-delà. Le sommet est en $q = - \frac{b}{2 a} = 30$ , où $B (30) = 400$ euros. Contrôle : $10 + 50 = 60 = - \frac{b}{a}$ et $10 \times 50 = 500 = \frac{c}{a}$ .

Python : Résoudre un trinôme, tous cas confondus


def racines(a, b, c):
    d = b*b - 4*a*c
    if d > 0:
        r = d**0.5
        return ((-b - r)/(2*a), (-b + r)/(2*a))
    if d == 0:
        return (-b/(2*a),)
    return ()

print(racines(-1, 60, -500))   # (50.0, 10.0)
print(racines(1, -6, 9))       # (3.0,)
print(racines(1, 0, 1))        # ()

Le premier appel rend $50$ puis $10$ : la formule $\frac{- b - Δ}{2 a}$ ne donne la plus petite racine que si $a > 0$ .

2.6 Polynômes de degré quelconque

Définition 2.14Fonction polynomiale, degré

Une fonction polynomiale est une fonction de la forme $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , où les $a_{k}$ sont des réels. Si $a_{n} \neq = 0$ , l'entier $n$ est le degré de $P$ , noté $de g P$ , et $a_{n}$ est son coefficient dominant.

Proposition 2.15Degré d'une somme, d'un produit

Pour $P$ et $Q$ non nuls, $de g (P Q) = de g P + de g Q$ et $de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q)$ . L'inégalité vient de ce que les termes dominants peuvent s'annuler : avec $P (x) = x^{2} + x$ et $Q (x) = - x^{2} + 1$ , chacun est de degré $2$ mais $P + Q = x + 1$ est de degré $1$ .

◆Théorème 2.16Factorisation par une racine

Soit $P$ une fonction polynomiale de degré $n \geq 1$ et $a$ un réel. Alors $P (a) = 0$ si et seulement s'il existe une fonction polynomiale $Q$ de degré $n - 1$ telle que $P (x) = (x - a) Q (x)$ .

La méthode tient en trois gestes : chercher une racine évidente en essayant $0$ , $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ , puis les diviseurs du terme constant ; diviser $P (x)$ par $(x - a)$ , la division euclidienne des polynômes se posant comme celle des entiers ; recommencer sur le quotient, ou lui appliquer le discriminant s'il est de degré $2$ .

Exemple 2.17Une factorisation complète

Soit $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ . Alors $P (2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$ : $2$ est racine, donc $(x - 2)$ divise $P$ . La division, posée sur la figure ci-dessous, donne

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = (x - 2) (x^{2} - 2 x - 3) .$

Le quotient est du second degré : $Δ = 4 + 12 = 16$ , racines $\frac{2 - 4}{2} = - 1$ et $\frac{2 + 4}{2} = 3$ . Donc $P (x) = (x - 2) (x - 3) (x + 1)$ .

Contrôle. $P (3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$ et $P (- 1) = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$ .

Exemple 2.18Une division qui ne tombe pas juste

Divisons $A (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5$ par $B (x) = x^{2} + 1$ : la même mécanique donne $A (x) = (x^{2} + 1) (x + 2) + (- x - 7)$ . Le reste $- x - 7$ est de degré $1$ , strictement inférieur au degré de $B$ : c'est le signe qu'on s'arrête.

Contrôle. $(x^{2} + 1) (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ , et en retirant $x + 7$ on retrouve $x^{3} + 2 x^{2} - 5$ .

Python : La division des polynômes avec numpy


import numpy as np

P = [1, -4, 1, 6]              # x^3 - 4x^2 + x + 6
print(np.polyval(P, 2))        # 0
Q, R = np.polydiv(P, [1, -2])
print(Q)                       # [ 1. -2. -3.]
print(R)                       # [0.]

Un polynôme se donne à numpy par la liste de ses coefficients, du degré le plus haut au plus bas. La machine confirme le quotient et un reste nul ; à nous d'avoir eu l'idée d'essayer $2$ .

2.7 La valeur absolue

Définition 2.19Valeur absolue

Pour tout réel $x$ : $∣ x ∣ = x$ si $x \geq 0$ , et $∣ x ∣ = - x$ si $x < 0$ . C'est le nombre $x$ « privé de son signe » : $∣ - 7 ∣ = 7$ , $∣0∣ = 0$ , $∣3, 5∣ = 3, 5$ .

Proposition 2.20Propriétés de la valeur absolue

Pour tous réels $x$ et $y$ : $∣ x ∣ \geq 0$ ; $∣ x ∣ = 0$ si et seulement si $x = 0$ ; $∣ - x ∣ = ∣ x ∣$ ; $∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣$ ; $\frac{x}{y} = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}$ pour $y \neq = 0$ ; et $x^{2} = ∣ x ∣$ .

◆Théorème 2.21Inégalité triangulaire

Pour tous réels $x$ et $y$ : $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .

Démonstration

On a toujours $- ∣ x ∣ \leq x \leq ∣ x ∣$ et $- ∣ y ∣ \leq y \leq ∣ y ∣$ . En ajoutant ces deux encadrements membre à membre, $- (∣ x ∣ + ∣ y ∣) \leq x + y \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ . Or dire $- M \leq t \leq M$ avec $M \geq 0$ , c'est exactement dire $∣ t ∣ \leq M$ .

L'inégalité est souvent stricte : avec $x = 3$ et $y = - 5$ , $∣ x + y ∣ = 2$ tandis que $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 8$ . L'égalité n'a lieu que si $x$ et $y$ sont de même signe.

ImportantLa valeur absolue est une distance

Pour deux réels $x$ et $a$ , le nombre $∣ x - a ∣$ est la distance entre $x$ et $a$ sur la droite réelle. Toutes les écritures qui suivent disent la même chose :

$∣ x - a ∣ \leq r ⟺ - r \leq x - a \leq r ⟺ x \in [a - r; a + r] .$

Symétriquement, $∣ x - a ∣ \geq r$ décrit les $x$ loin de $a$ , c'est-à-dire $] - \infty; a - r] \cup [a + r; + \infty [$ .

Exemple 2.22Deux équations, deux inéquations

$∣ x - 4∣ = 2$ : la distance de $x$ à $4$ vaut $2$ , donc $x = 2$ ou $x = 6$ .

$∣2 x - 6∣ \leq 4$ : on factorise, $∣2 x - 6∣ = 2 ∣ x - 3∣$ , d'où $∣ x - 3∣ \leq 2$ , c'est-à-dire $x \in [1; 5]$ .

$∣ x - 5∣ > 2$ : les $x$ à plus de $2$ de $5$ , donc $x < 3$ ou $x > 7$ . Enfin $∣ x ∣ \leq - 1$ n'a aucune solution : une valeur absolue n'est jamais négative.

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