Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe de la fonction valeur absolue, en forme de V.

Tout le reste de l'année repose sur ce chapitre. Une limite mal calculée, une dérivée fausse, une probabilité négative : neuf fois sur dix, l'erreur n'est pas dans la notion nouvelle, elle est dans un développement bâclé ou dans une inégalité multipliée par un nombre négatif sans changer de sens. On reprend donc ici les outils de calcul du lycée — puissances, identités remarquables, inégalités, second degré, valeur absolue — en les installant sur des situations de gestion : prix, remises, coûts, recettes.

AttentionCe chapitre ne fait aucune théorie

Le programme est catégorique : « Toute étude théorique sur les polynômes est exclue. On identifie polynôme et fonction polynomiale. » Il n'y aura donc ici ni indéterminée abstraite ni construction formelle : un polynôme est la fonction qu'il calcule, et on le manipule pour résoudre des équations, factoriser, étudier un signe.

2.1 Nombres, puissances, racines

Définition 2.1Les ensembles de nombres

On emboîte quatre ensembles : $N \subset Z \subset Q \subset R$ .

$N$ sont les entiers naturels ; $Z$ y ajoute les négatifs ; $Q$ est l'ensemble des quotients $\frac{p}{q}$ d'entiers ( $q \neq = 0$ ) ; $R$ est l'ensemble de tous les nombres qui mesurent une longueur, un prix, un taux. La dernière inclusion est stricte : $2$ n'est le quotient d'aucun couple d'entiers.

Définition 2.2Puissances entières et leurs règles

Pour $x$ réel non nul et $n$ entier naturel non nul, $x^{n} = x \times \dots \times x$ ( $n$ facteurs), $x^{0} = 1$ et $x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$ . Pour $n$ , $m$ entiers relatifs :

$x^{n + m} = x^{n} x^{m}, \frac{x ^{n}}{x ^{m}} = x^{n - m}, (x^{n})^{m} = x^{nm},$

$(x y)^{n} = x^{n} y^{n}, (\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}} (y \neq = 0) .$

Exemple 2.3La notation scientifique d'un chiffre d'affaires

Un groupe réalise $3240000000$ euros de chiffre d'affaires, que l'on écrit $3, 24 \times 1 0^{9}$ euros. Avec $5400$ salariés, le chiffre d'affaires par salarié vaut

$\frac{3 , 24 \times 1 0 ^{9}}{5 , 4 \times 1 0 ^{3}} = \frac{3 , 24}{5 , 4} \times 1 0^{9 - 3} = 0, 6 \times 1 0^{6} = 600000 euros .$

On a séparé les mantisses des puissances de dix : c'est tout l'intérêt de la notation.

AttentionTrois fautes qui coûtent un exercice entier

$(x + y)^{n}$ n'est pas $x^{n} + y^{n}$ : sur $x = y = 1$ et $n = 2$ , $4$ d'un côté et $2$ de l'autre. $- x^{2}$ n'est pas $(- x)^{2}$ : la puissance s'applique avant le signe, $- 3^{2} = - 9$ tandis que $(- 3)^{2} = 9$ . Enfin $x^{- 1}$ est $\frac{1}{x}$ , jamais $- x$ .

Proposition 2.4Racine carrée

Pour $a \geq 0$ , $a$ est l'unique réel positif de carré $a$ ; la racine d'un nombre strictement négatif n'existe pas dans $R$ . Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$ab = a b, \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (b > 0), (a)^{2} = a .$

Et pour tout réel $x$ , quel que soit son signe : $x^{2} = ∣ x ∣$ .

AttentionLa racine ne traverse pas une somme

$9 + 16 = 3 + 4 = 7$ , tandis que $9 + 16 = 25 = 5$ . Racines et puissances traversent les produits et les quotients, jamais les sommes.

Python : Les puissances de dix, et une surprise


ca = 3.24e9              # chiffre d'affaires, en euros
print(ca)                # 3240000000.0
print(2**10, 10**(-3))   # 1024 0.001
print(0.1 + 0.2)         # 0.30000000000000004
print(0.1 + 0.2 == 0.3)  # False

Les deux dernières lignes ne sont pas une faute de Python : un ordinateur code les décimaux en base deux, et $0, 1$ n'y a pas d'écriture finie. On ne teste donc jamais l'égalité de deux résultats de calcul flottant.

2.2 Développer, factoriser

◆Théorème 2.5Les trois identités remarquables au programme

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}, a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) .$

Ces trois égalités se lisent sur un dessin, et c'est la meilleure façon de ne plus jamais oublier le double produit $2 ab$ de la première.

On les emploie dans les deux sens. Pour développer : $(3 x - 2)^{2}$ est $(a - b)^{2}$ avec $a = 3 x$ et $b = 2$ , donc vaut $9 x^{2} - 12 x + 4$ . Pour factoriser : $25 x^{2} - 49$ est $a^{2} - b^{2}$ avec $a = 5 x$ et $b = 7$ , donc $25 x^{2} - 49 = (5 x - 7) (5 x + 7)$ . Mais avant toute identité remarquable, on cherche un facteur commun : $6 x^{3} - 24 x = 6 x (x^{2} - 4) = 6 x (x - 2) (x + 2)$ . Le facteur commun d'abord, l'identité ensuite — on ne factorise jamais d'un coup, on factorise par couches.

Exercices du chapitre

Puissances et notation scientifique corrigé
Développer et factoriser corrigé
Une simplification et deux factorisations corrigé
Inéquations et intervalles corrigé
Une remise, puis une hausse corrigé
Deux hausses successives corrigé

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