Raisonnement, ensembles et applications

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 1 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Deux ensembles A et B et leur intersection.

Ce premier chapitre ne contient presque aucun résultat nouveau. Il installe la langue dans laquelle tout le reste de l'année sera écrit : ce que veut dire « si … alors », ce que nie une phrase, ce qu'est un ensemble, ce qu'est une application.

AttentionCe chapitre n'est pas un cours de logique

Le programme est net : « Ces outils ne doivent pas faire l'objet d'un exposé théorique », et « tout exposé théorique sur le raisonnement par récurrence est exclu ». On apprend donc ces mots en s'en servant, sur des exemples pris dans les autres chapitres — jamais pour eux-mêmes.

1.1 La langue des propositions

Définition 1.1Proposition

Une proposition est un énoncé dont on peut dire, sans ambiguïté, qu'il est vrai ou qu'il est faux.

« $3 > 2$ » est une proposition vraie. « $3 < 2$ » est une proposition fausse. « $x > 2$ » n'en est pas une tant qu'on n'a pas dit ce qu'est $x$ .

Définition 1.2Les connecteurs « et », « ou »

Soient $P$ et $Q$ deux propositions.

$P$ et $Q$ est vraie lorsque les deux le sont.
$P$ ou $Q$ est vraie lorsque l'une au moins l'est.

ImportantLe « ou » des mathématiques n'exclut pas

Dans la langue courante, « fromage ou dessert » veut dire l'un ou l'autre, pas les deux. En mathématiques, « $x = 1$ ou $x = 2$ » reste vraie si les deux le sont — cela n'arrive simplement jamais ici, puisqu'un nombre ne vaut pas à la fois $1$ et $2$ .

La règle est simple et sans exception : le « ou » mathématique est inclusif.

1.1.1 Implication, réciproque, contraposée, négation

Définition 1.3Proposition conditionnelle

La proposition « $P \Rightarrow Q$ », lue « $P$ implique $Q$ » ou « si $P$ alors $Q$ », est fausse dans un seul cas : $P$ vraie et $Q$ fausse.

À partir d'elle on en forme trois autres :

la réciproque : $Q \Rightarrow P$ ;
la contraposée : $non Q \Rightarrow non P$ ;
la négation : $P$ et $non Q$ .

◆Théorème 1.4Une implication et sa contraposée disent la même chose

Pour toutes propositions $P$ et $Q$ , les propositions $P \Rightarrow Q$ et $non Q \Rightarrow non P$ ont toujours la même valeur de vérité.

Démonstration

$P \Rightarrow Q$ est fausse exactement quand $P$ est vraie et $Q$ fausse. Or $non Q \Rightarrow non P$ est fausse exactement quand $non Q$ est vraie et $non P$ fausse, c'est-à-dire quand $Q$ est fausse et $P$ vraie. C'est le même cas ; dans tous les autres, les deux sont vraies.

ImportantCondition nécessaire, condition suffisante

Quand $P \Rightarrow Q$ est vraie, on dit que

$P$ est une condition suffisante de $Q$ : il suffit d'avoir $P$ pour avoir $Q$ ;
$Q$ est une condition nécessaire de $P$ : sans $Q$ , pas de $P$ .

Les deux phrases décrivent la même implication, vue de ses deux bouts.

Exemple 1.5Sur un cas où l'on ne se trompe pas

« Si une entreprise est cotée en bourse, alors elle publie des comptes annuels. » Publier des comptes est nécessaire pour être cotée ; être cotée est suffisant pour publier des comptes.

La réciproque est fausse : beaucoup d'entreprises publient des comptes sans être cotées. La contraposée, elle, est vraie : une entreprise qui ne publie pas de comptes annuels n'est pas cotée.

AttentionLa réciproque n'est pas la contraposée

C'est la confusion la plus fréquente de l'année, et elle coûte cher : la contraposée est toujours vraie en même temps que l'implication, la réciproque n'a aucune raison de l'être. Les deux se ressemblent parce qu'on y échange $P$ et $Q$ ; mais dans la contraposée, on les nie aussi.

1.1.2 Les quantificateurs

Définition 1.6Pour tout, il existe

$\forall$ se lit « pour tout » ; $\exists$ se lit « il existe ». La négation échange les deux :

$non (\forall x, P (x)) = \exists x, non P (x), non (\exists x, P (x)) = \forall x, non P (x) .$

Exercices du chapitre

Réciproque, contraposée, négation corrigé
Nécessaire ou suffisant ? corrigé
Nier une proposition quantifiée corrigé
Un contre-exemple, et un seul corrigé
Deux démonstrations d'un même énoncé corrigé
Une récurrence corrigé

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