Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 · prépa ECT, 1re année

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Une fonction, c'est une machine à un bouton : on entre un nombre, il en sort un autre. Le chiffre d'affaires en fonction du prix, le coût moyen en fonction de la quantité produite, les frais de port en fonction du montant du panier — tout se modélise ainsi.

Ce chapitre installe le vocabulaire, puis répond à une seule question : que devient $f (x)$ quand $x$ s'approche d'un nombre, ou quand $x$ devient très grand ? C'est la question de la limite, et elle se lit d'abord sur un dessin.

AttentionCe chapitre ne démontre rien, et c'est voulu

Le programme est explicite : « La définition formelle d'une limite est hors programme. Toute étude théorique sur les limites est exclue. Les résultats seront énoncés sans démonstration et illustrés par des représentations graphiques. »

Deux autres bornes valent d'être citées tout de suite : « Toute recherche systématique des branches infinies est hors-programme » — on ne cherchera donc que les asymptotes parallèles aux axes — et « Le prolongement par continuité est hors programme ».

4.1 Vocabulaire et lecture graphique

Définition 4.1Fonction, ensemble de définition

Une fonction $f$ associe à certains réels $x$ un unique réel noté $f (x)$ . L'ensemble de définition $D_{f}$ est l'ensemble des $x$ pour lesquels $f (x)$ existe.

En pratique, deux interdits seulement : on ne divise pas par zéro, et on ne prend pas la racine carrée d'un nombre strictement négatif.

Définition 4.2Image, antécédent, courbe représentative

Le nombre $f (x)$ est l'image de $x$ . Si $y = f (x)$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ .

La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f (x))$ pour $x \in D_{f}$ . Elle contient toute l'information : un antécédent se lit en horizontale, une image en verticale.

ImportantRésoudre une équation, c'est couper par une horizontale

Résoudre $f (x) = c$ revient à chercher les points d'intersection de la courbe de $f$ avec la droite horizontale d'équation $y = c$ . Selon la hauteur $c$ , il peut y avoir zéro, une, deux solutions ou davantage.

C'est la lecture qui servira tout le second semestre, quand on cherchera à résoudre des équations qu'aucune formule ne résout.

4.2 Les fonctions de référence

Tant que le logarithme et l'exponentielle ne sont pas installés — ce sera au second semestre — toutes les fonctions de ce chapitre se déduisent de cinq courbes qu'il faut savoir tracer de mémoire.

4.3 Parité, monotonie, bornes

Définition 4.3Fonctions paires et impaires

Soit $f$ définie sur un ensemble $D_{f}$ symétrique par rapport à $0$ .

$f$ est paire si $f (- x) = f (x)$ pour tout $x \in D_{f}$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est impaire si $f (- x) = - f (x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Une fonction n'est en général ni l'une ni l'autre.

Définition 4.4Monotonie

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . On dit que $f$ est croissante sur $I$ si $x \leq y$ entraîne $f (x) \leq f (y)$ , et décroissante si $x \leq y$ entraîne $f (x) \geq f (y)$ . Elle est strictement croissante (ou décroissante) si les inégalités d'arrivée sont strictes.

Une fonction monotone sur $I$ est une fonction croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$ .

Définition 4.5Majorée, minorée, bornée

$f$ est majorée sur $I$ s'il existe un réel $M$ tel que $f (x) \leq M$ pour tout $x \in I$ ; minorée s'il existe $m$ avec $f (x) \geq m$ ; bornée si elle est les deux à la fois.

AttentionUne propriété se dit toujours SUR un intervalle

« $f$ est croissante » ne veut rien dire tant qu'on n'a pas dit où. La fonction inverse décroît sur $] - \infty; 0 [$ et décroît sur $] 0; + \infty [$ , mais elle n'est pas décroissante sur leur réunion : $f (- 1) = - 1$ est plus petit que $f (1) = 1$ .

Même remarque pour « bornée » : la fonction carré est bornée sur $[0; 3]$ et ne l'est pas sur $R$ .

4.4 Opérations et composition

Définition 4.6Somme, produit, quotient, composée

Pour $f$ et $g$ définies sur un même ensemble, on définit $f + g$ , $f \times g$ et $λ f$ point par point : $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ , et ainsi de suite. Le quotient $\frac{f}{g}$ est défini là où $g (x) \neq = 0$ .

La composée $g \circ f$ est définie par $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ , pour les $x$ tels que $f (x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $g$ .

Exemple 4.7Deux compositions ne se ressemblent pas

Prenons $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 1$ . Alors

$(g \circ f) (x) = 3 x^{2} - 1, (f \circ g) (x) = (3 x - 1)^{2} = 9 x^{2} - 6 x + 1.$

Elles diffèrent : en $x = 1$ , l'une vaut $2$ et l'autre $4$ . Dans $g \circ f$ , c'est $f$ qui agit d'abord.

ImportantFonction bijective, fonction réciproque

$f$ est bijective de $I$ vers $J$ si tout $c$ de $J$ a exactement un antécédent dans $I$ — autrement dit si l'équation $f (x) = c$ a une solution et une seule. On note alors $f^{- 1}$ la fonction réciproque, qui à $c$ associe cette solution.

Graphiquement : toute horizontale de hauteur $c \in J$ coupe la courbe en un point. Sur la figure de la section 4.1, l'horizontale $y = 2, 5$ en coupait deux : $f$ n'y est donc pas bijective sur $[- 1; 5]$ .

4.5 Limites

AttentionUne description, pas une définition

Les phrases qui suivent décrivent ce qu'on observe sur une courbe ; ce ne sont pas des définitions au sens mathématique, et le programme ne les demande pas : « La définition formelle d'une limite est hors programme. » Ce qu'il faut savoir faire, c'est calculer des limites et les lire sur un graphique.

Définition 4.8Les quatre situations à connaître

Soit $f$ une fonction et $a$ un réel.

$lim_{x \to a} f (x) = ℓ$ : quand $x$ s'approche de $a$ , $f (x)$ s'approche du réel $ℓ$ .
$lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ : quand $x$ s'approche de $a$ , $f (x)$ dépasse tout nombre fixé à l'avance.
$lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ : quand $x$ devient très grand, $f (x)$ s'approche de $ℓ$ .
$lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ : quand $x$ devient très grand, $f (x)$ aussi.

Les mêmes descriptions valent en $- \infty$ et avec $- \infty$ pour valeur.

ImportantLimite à droite, limite à gauche

Quand $x$ s'approche de $a$ par valeurs supérieures, on parle de limite à droite, notée $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ ; par valeurs inférieures, de limite à gauche, $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ .

Ces deux limites peuvent être différentes — et c'est justement ce qui arrive de part et d'autre d'une valeur interdite.

Python : Approcher une limite par des valeurs


def g(x):
    return 1 / (x - 2)

for x in [1.9, 1.99, 1.999]:
    print(x, round(g(x), 3))
for x in [2.1, 2.01, 2.001]:
    print(x, round(g(x), 3))
# 1.9 -10.0 / 1.99 -100.0 / 1.999 -1000.0
# 2.1 10.0 / 2.01 100.0 / 2.001 1000.0

Les valeurs s'effondrent d'un côté et explosent de l'autre. Attention : ce tableau suggère les deux limites, il ne les démontre pas — trois nombres ne disent rien de ce qui se passe plus près encore.

4.6 Opérations sur les limites

◆Théorème 4.9Ce qui se calcule sans réfléchir

Quand les limites de $f$ et de $g$ existent, la limite d'une somme est la somme des limites, celle d'un produit le produit des limites, celle d'un quotient le quotient des limites — à condition que le dénominateur ne tende pas vers $0$ .

De plus, si $f (x) \to b$ quand $x \to a$ , et si $g (y) \to ℓ$ quand $y \to b$ , alors $(g \circ f) (x) \to ℓ$ quand $x \to a$ .

AttentionLes quatre formes indéterminées

Quatre situations échappent aux règles ci-dessus :

$\infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0} .$

« Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que la forme ne suffit pas à conclure, et qu'il faut transformer l'expression — factoriser, simplifier, mettre le terme dominant en facteur.

Exemple 4.10Lever une indétermination en factorisant

Une forme $\frac{0}{0}$ . En $x = 3$ , le quotient $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ donne $\frac{0}{0}$ . Mais pour $x \neq = 3$ ,

$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3,$

donc la limite en $3$ vaut $6$ .

Une forme $\infty - \infty$ . Pour $x^{3} - 5 x^{2}$ en $+ \infty$ , on met le terme dominant en facteur : $x^{3} (1 - \frac{5}{x})$ . Le premier facteur tend vers $+ \infty$ , le second vers $1$ : la limite est $+ \infty$ .

4.7 Polynômes, fractions rationnelles et asymptotes

◆Théorème 4.11Le terme de plus haut degré décide

En $+ \infty$ et en $- \infty$ :

une fonction polynomiale a la même limite que son monôme de plus haut degré ;
une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Ce résultat est admis. Il ne vaut qu'en l'infini : en un point, il faut revenir au calcul.

Exemple 4.12Trois limites en l'infini

$x \to + \infty lim (2 x^{3} - 5 x^{2} + 1) = x \to + \infty lim 2 x^{3} = + \infty,$

$x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 5 x - 2}{x ^{2} + 1} = x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2}}{x ^{2}} = 3, x \to + \infty lim \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 3} = x \to + \infty lim \frac{2}{x} = 0.$

Dans le deuxième calcul, on n'a pas le droit d'écrire $\frac{\infty}{\infty}$ : on simplifie d'abord le quotient des monômes dominants, et il n'y a plus d'indétermination.

Définition 4.13Asymptotes parallèles aux axes

Si $lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ (ou en $- \infty$ ), la droite d'équation $y = ℓ$ est asymptote horizontale à la courbe.

Si $lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$ à droite ou à gauche, la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale.

Exemple 4.14Ce qu'une asymptote horizontale veut dire en gestion

Une entreprise a un coût total $C (q) = 4 q + 60$ (en milliers d'euros) pour $q$ articles. Son coût moyen est

$C_{m} (q) = \frac{4 q + 60}{q} = 4 + \frac{60}{q} .$

Quand $q$ devient grand, $\frac{60}{q}$ tend vers $0$ : $C_{m} (q)$ tend vers $4$ . La droite $y = 4$ est asymptote horizontale.

Lecture économique. Les $60$ de charges fixes se répartissent sur de plus en plus d'articles et finissent par ne plus peser ; il reste le coût variable unitaire, $4$ . Le coût moyen s'en approche sans jamais l'atteindre : il vaut $10$ pour $q = 10$ , $7$ pour $q = 20$ , $5, 5$ pour $q = 40$ .

4.8 Continuité

Définition 4.15Continuité en un point, sur un intervalle

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $a$ . On dit que $f$ est continue en $a$ lorsque

$x \to a lim f (x) = f (a) .$

$f$ est continue sur un intervalle si elle est continue en chacun de ses points. Intuitivement : on trace la courbe sans lever le crayon.

◆Théorème 4.16Les fonctions usuelles sont continues

Les fonctions polynomiales sont continues sur $R$ . Les fractions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition. La racine carrée est continue sur $[0; + \infty [$ , la valeur absolue sur $R$ .

De plus, somme, produit, quotient (là où le dénominateur ne s'annule pas) et composée de fonctions continues sont continus. Ces résultats sont admis.

Python : Un barème par tranches, et ses sauts


def frais(achat):
    if achat < 20:
        return 5
    if achat < 50:
        return 3
    return 0

for a in [19.99, 20, 49.99, 50, 80]:
    print(a, frais(a))
# 19.99 5 / 20 3 / 49.99 3 / 50 0 / 80 0

Un centime de plus fait tomber les frais de $5$ à $3$ euros : c'est un saut, donc une rupture de continuité. Les barèmes réels — impôt, cotisations, remises — en sont pleins, et c'est pour cela qu'on les paramètre par tranches.

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