Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une courbe et ses deux asymptotes : verticale en 0, horizontale y = ℓ.

Une fonction, c'est une machine à un bouton : on entre un nombre, il en sort un autre. Le chiffre d'affaires en fonction du prix, le coût moyen en fonction de la quantité produite, les frais de port en fonction du montant du panier — tout se modélise ainsi.

Ce chapitre installe le vocabulaire, puis répond à une seule question : que devient $f (x)$ quand $x$ s'approche d'un nombre, ou quand $x$ devient très grand ? C'est la question de la limite, et elle se lit d'abord sur un dessin.

AttentionCe chapitre ne démontre rien, et c'est voulu

Le programme est explicite : « La définition formelle d'une limite est hors programme. Toute étude théorique sur les limites est exclue. Les résultats seront énoncés sans démonstration et illustrés par des représentations graphiques. »

Deux autres bornes valent d'être citées tout de suite : « Toute recherche systématique des branches infinies est hors-programme » — on ne cherchera donc que les asymptotes parallèles aux axes — et « Le prolongement par continuité est hors programme ».

4.1 Vocabulaire et lecture graphique

Définition 4.1Fonction, ensemble de définition

Une fonction $f$ associe à certains réels $x$ un unique réel noté $f (x)$ . L'ensemble de définition $D_{f}$ est l'ensemble des $x$ pour lesquels $f (x)$ existe.

En pratique, deux interdits seulement : on ne divise pas par zéro, et on ne prend pas la racine carrée d'un nombre strictement négatif.

Définition 4.2Image, antécédent, courbe représentative

Le nombre $f (x)$ est l'image de $x$ . Si $y = f (x)$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ .

La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f (x))$ pour $x \in D_{f}$ . Elle contient toute l'information : un antécédent se lit en horizontale, une image en verticale.

ImportantRésoudre une équation, c'est couper par une horizontale

Résoudre $f (x) = c$ revient à chercher les points d'intersection de la courbe de $f$ avec la droite horizontale d'équation $y = c$ . Selon la hauteur $c$ , il peut y avoir zéro, une, deux solutions ou davantage.

C'est la lecture qui servira tout le second semestre, quand on cherchera à résoudre des équations qu'aucune formule ne résout.

4.2 Les fonctions de référence

Tant que le logarithme et l'exponentielle ne sont pas installés — ce sera au second semestre — toutes les fonctions de ce chapitre se déduisent de cinq courbes qu'il faut savoir tracer de mémoire.

4.3 Parité, monotonie, bornes

Définition 4.3Fonctions paires et impaires

Soit $f$ définie sur un ensemble $D_{f}$ symétrique par rapport à $0$ .

$f$ est paire si $f (- x) = f (x)$ pour tout $x \in D_{f}$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est impaire si $f (- x) = - f (x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Une fonction n'est en général ni l'une ni l'autre.

Définition 4.4Monotonie

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . On dit que $f$ est croissante sur $I$ si $x \leq y$ entraîne $f (x) \leq f (y)$ , et décroissante si $x \leq y$ entraîne $f (x) \geq f (y)$ . Elle est strictement croissante (ou décroissante) si les inégalités d'arrivée sont strictes.

Une fonction monotone sur $I$ est une fonction croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$ .

Exercices du chapitre

Ensembles de définition corrigé
Paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre corrigé
Composer deux fonctions corrigé
Deux composées et leurs domaines corrigé
Limites immédiates corrigé
Lever une indétermination corrigé

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