Dérivation et convexité
Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Le chapitre précédent a appris à regarder une fonction de loin : ses limites, sa continuité. Celui-ci la regarde de près. À quelle vitesse monte-t-elle ? Où s'arrête-t-elle de monter ? Et se creuse-t-elle vers le haut ou vers le bas ?
Ces trois questions portent en gestion trois noms très concrets : le coût marginal, le niveau de production optimal, les rendements décroissants. Une seule entreprise servira à les traiter.
Un atelier produit milliers d'articles. Son coût total, en milliers d'euros, est
Le terme est le coût fixe (loyer, assurances) : il est payé même si l'on ne produit rien. Chaque article se vend euros, donc la recette est et le bénéfice . Tout le chapitre revient à cette fonction ; à la fin, nous saurons dire à quel niveau produire.
5.1 Le nombre dérivé
Soit une fonction définie sur un intervalle et . Pour tel que , le taux d'accroissement de entre et est
C'est la variation de divisée par la variation de : une pente moyenne.
est dérivable en si admet une limite finie quand tend vers . Cette limite est le nombre dérivé de en , noté :
Avec et :
Quand tend vers , ce taux tend vers : donc . Remarquons le mécanisme : on simplifie par avant de faire tendre vers , sans quoi l'on tomberait sur la forme indéterminée .
est la pente de la tangente à la courbe de au point d'abscisse . Une dérivée grande signifie une courbe qui grimpe vite ; nulle, une tangente horizontale ; négative, une courbe qui descend.
Si est dérivable en , la tangente à la courbe de au point d'abscisse a pour équation
Démonstration
C'est la droite passant par de coefficient directeur ; or une droite de pente passant par a pour équation .
On verra plus loin que , donc , et . La tangente en a pour équation
Elle passe par l'origine. Ce n'est pas un hasard, et nous verrons à la section 4 ce que cela signifie pour l'entreprise.
Si est dérivable en , alors pour petit
On remplace la courbe par sa tangente au voisinage de .
En gestion, le coût marginal est le coût du dernier article produit, c'est-à-dire . Or, pour , l'approximation affine donne .
Avec notre coût, tandis que : l'écart vaut . C'est pourquoi les économistes appellent coût marginal la fonction dérivée elle-même.
Python : Le coût marginal contre la dérivée
def C(q):
return 0.5*q**2 + 2*q + 4.5
def Cprime(q):
return q + 2
for q in [1, 3, 6, 10]:
print(q, round(C(q + 1) - C(q), 2), Cprime(q))
# 1 3.5 3 / 3 5.5 5 / 6 8.5 8 / 10 12.5 12L'écart entre les deux colonnes vaut toujours , la moitié de la dérivée seconde. La dérivée n'est donc pas le coût du dernier article, mais une très bonne approximation de ce coût.
Une fonction dérivable en y est nécessairement continue ; la réciproque est fausse. est continue en mais son taux d'accroissement vaut à droite et à gauche : sa courbe fait un angle, sans tangente.
Exercices du chapitre
- Un nombre dérivé par la définition corrigé
- Tangente et position corrigé
- Le nombre dérivé d'un inverse corrigé
- Coût marginal et approximation affine corrigé
- Quatre dérivées corrigé
- Quatre dérivées, quatre règles corrigé