Dérivation et convexité

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 · prépa ECT, 1re année

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Le chapitre précédent a appris à regarder une fonction de loin : ses limites, sa continuité. Celui-ci la regarde de près. À quelle vitesse monte-t-elle ? Où s'arrête-t-elle de monter ? Et se creuse-t-elle vers le haut ou vers le bas ?

Ces trois questions portent en gestion trois noms très concrets : le coût marginal, le niveau de production optimal, les rendements décroissants. Une seule entreprise servira à les traiter.

ImportantL'entreprise qui servira de fil rouge

Un atelier produit $q$ milliers d'articles. Son coût total, en milliers d'euros, est

$C (q) = 0, 5 q^{2} + 2 q + 4, 5.$

Le terme $4, 5$ est le coût fixe (loyer, assurances) : il est payé même si l'on ne produit rien. Chaque article se vend $8$ euros, donc la recette est $R (q) = 8 q$ et le bénéfice $B (q) = R (q) - C (q)$ . Tout le chapitre revient à cette fonction ; à la fin, nous saurons dire à quel niveau produire.

5.1 Le nombre dérivé

Définition 5.1Taux d'accroissement

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . Pour $h \neq = 0$ tel que $a + h \in I$ , le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est

$τ (h) = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .$

C'est la variation de $f$ divisée par la variation de $x$ : une pente moyenne.

Définition 5.2Nombre dérivé

$f$ est dérivable en $a$ si $τ (h)$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ . Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ :

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .$

Exemple 5.3Le nombre dérivé du coût en

q = 1

Avec $C (q) = 0, 5 q^{2} + 2 q + 4, 5$ et $a = 1$ :

$\frac{C ( 1 + h ) - C ( 1 )}{h} = \frac{0 , 5 ( 1 + h ) ^{2} + 2 ( 1 + h ) + 4 , 5 - 7}{h} = \frac{0 , 5 h ^{2} + 3 h}{h} = 0, 5 h + 3.$

Quand $h$ tend vers $0$ , ce taux tend vers $3$ : donc $C^{'} (1) = 3$ . Remarquons le mécanisme : on simplifie par $h$ avant de faire tendre $h$ vers $0$ , sans quoi l'on tomberait sur la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ .

ImportantCe que le nombre dérivé veut dire, graphiquement

$f^{'} (a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ . Une dérivée grande signifie une courbe qui grimpe vite ; nulle, une tangente horizontale ; négative, une courbe qui descend.

◆Théorème 5.4Équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation

$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) .$

Démonstration

C'est la droite passant par $(a, f (a))$ de coefficient directeur $f^{'} (a)$ ; or une droite de pente $m$ passant par $(x_{0}, y_{0})$ a pour équation $y = y_{0} + m (x - x_{0})$ .

Exemple 5.5La tangente au coût en

q = 3

On verra plus loin que $C^{'} (q) = q + 2$ , donc $C^{'} (3) = 5$ , et $C (3) = 15$ . La tangente en $q = 3$ a pour équation

$y = 15 + 5 (q - 3) = 5 q .$

Elle passe par l'origine. Ce n'est pas un hasard, et nous verrons à la section 4 ce que cela signifie pour l'entreprise.

Définition 5.6Approximation affine

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors pour $h$ petit

$f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h .$

On remplace la courbe par sa tangente au voisinage de $a$ .

Exemple 5.7Le coût marginal

En gestion, le coût marginal est le coût du dernier article produit, c'est-à-dire $C (q + 1) - C (q)$ . Or, pour $h = 1$ , l'approximation affine donne $C (q + 1) - C (q) \approx C^{'} (q)$ .

Avec notre coût, $C (4) - C (3) = 5, 5$ tandis que $C^{'} (3) = 5$ : l'écart vaut $0, 5$ . C'est pourquoi les économistes appellent coût marginal la fonction dérivée $C^{'}$ elle-même.

Python : Le coût marginal contre la dérivée


def C(q):
    return 0.5*q**2 + 2*q + 4.5

def Cprime(q):
    return q + 2

for q in [1, 3, 6, 10]:
    print(q, round(C(q + 1) - C(q), 2), Cprime(q))
# 1 3.5 3 / 3 5.5 5 / 6 8.5 8 / 10 12.5 12

L'écart entre les deux colonnes vaut toujours $0, 5$ , la moitié de la dérivée seconde. La dérivée n'est donc pas le coût du dernier article, mais une très bonne approximation de ce coût.

AttentionDérivable est plus fort que continu

Une fonction dérivable en $a$ y est nécessairement continue ; la réciproque est fausse. $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue en $0$ mais son taux d'accroissement vaut $1$ à droite et $- 1$ à gauche : sa courbe fait un angle, sans tangente.

5.2 La fonction dérivée et les règles de calcul

Définition 5.8Fonction dérivée

Si $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$ , la fonction qui à chaque $x$ de $I$ associe $f^{'} (x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ , notée $f^{'}$ .

Proposition 5.9Les dérivées à connaître par cœur

$f (x)$	$f^{'} (x)$	valable sur
$k$ (constante)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{n}$ , $n \in N^{*}$	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$x \neq = 0$
[6pt] $x$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{1}{2 x}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $x > 0$ </td></tr></table></div> ◆Théorème 5.10Les quatre règles d'assemblage Soient $u$ et $v$ dérivables, et $k$ un réel. Somme : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ et $(k u)^{'} = k u^{'}$ . Produit : $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ . Quotient : $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , là où $v$ ne s'annule pas. Composée : $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ pour $n \in N^{}$ . AttentionLe produit ne se dérive pas terme à terme $(uv)^{'}$ n'est pas* $u^{'} v^{'}$ . Un contrôle immédiat : prenons $u (x) = v (x) = x$ . Alors $uv = x^{2}$ , de dérivée $2 x$ , tandis que $u^{'} v^{'} = 1$ . Même prudence pour le quotient : l'ordre des deux termes du numérateur compte, et une inversion change tous les signes. Exemple 5.11Deux règles à l'œuvre $g (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)$ donne, par le produit, $g^{'} (x) = 2 (x^{2} - 3) + (2 x + 1) (2 x) = 6 x^{2} + 2 x - 6$ ; et $k (x) = (x^{2} + 1)^{3}$ donne, par la composée, $k^{'} (x) = 3 \times 2 x \times (x^{2} + 1)^{2} = 6 x (x^{2} + 1)^{2}$ . Exemple 5.12La dérivée du coût, et celle du bénéfice $C (q) = 0, 5 q^{2} + 2 q + 4, 5$ donne $C^{'} (q) = q + 2$ : le coût marginal est une fonction croissante de $q$ , ce qui traduit un atelier qui sature. Le bénéfice vaut $B (q) = 8 q - C (q) = - 0, 5 q^{2} + 6 q - 4, 5$ , donc $B^{'} (q) = - q + 6$ . Le bénéfice marginal décroît, et s'annule en $q = 6$ . Exemple 5.13Le coût moyen : une dérivée de quotient Le coût moyen est $C M (q) = \frac{C ( q )}{q}$ pour $q > 0$ . En dérivant le quotient : $C M^{'} (q) = \frac{C ^{'} ( q ) q - C ( q )}{q ^{2}} .$ Ici $C M (q) = 0, 5 q + 2 + \frac{4 , 5}{q}$ , donc plus simplement $C M^{'} (q) = 0, 5 - \frac{4 , 5}{q ^{2}} = \frac{0 , 5 q ^{2} - 4 , 5}{q ^{2}}$ . Elle s'annule pour $q^{2} = 9$ , soit $q = 3$ . Or $C M (3) = \frac{15}{3} = 5$ et $C^{'} (3) = 5$ : au minimum du coût moyen, le coût marginal l'égale. La formule du quotient dit pourquoi : $C M^{'}$ ne s'annule que si $C^{'} (q) q = C (q)$ . Python : Le coût moyen rattrapé par le coût marginal `def C(q): return 0.5q2 + 2q + 4.5 for q in [1, 2, 3, 4, 5]: print(q, round(C(q)/q, 3), q + 2) # 1 7.0 3 / 2 5.25 4 / 3 5.0 5 / 4 5.125 6 / 5 5.4 7` La deuxième colonne (coût moyen) descend, atteint $5$ en $q = 3$ , puis remonte. La troisième (coût marginal) monte sans arrêt et croise la deuxième exactement là où celle-ci est minimale : résultat général, pas coïncidence. 5.3 Dérivée et variations ◆Théorème 5.14Signe de la dérivée et sens de variation Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Si $f^{'} = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ . Si $f^{'} \geq 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ . Si $f^{'} \leq 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ . Principe de Lagrange : si de plus $f^{'}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, la croissance (ou la décroissance) est stricte. ImportantCe théorème est admis Le programme le dit : « Résultat admis. » Nous ne le démontrerons pas, nous l'emploierons constamment : c'est l'outil qui transforme une question de variations, difficile, en une question de signe, facile. ImportantComment on dresse un tableau de variation On donne l'ensemble de définition. On calcule $f^{'} (x)$ et on l'écrit sous forme factorisée. On étudie le signe de $f^{'}$ , on le reporte dans une ligne du tableau et l'on en déduit les flèches. On calcule $f$ aux bornes et là où $f^{'}$ s'annule. Définition 5.15Extremum local $f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert autour de $a$ sur lequel $f (x) \leq f (a)$ ; un minimum local si $f (x) \geq f (a)$ . Dans les deux cas on parle d'extremum local. ◆Théorème 5.16Reconnaître un extremum Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$ . Si $f^{'}$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f^{'}$ passe du $+$ au $-$ , un minimum si $f^{'}$ passe du $-$ au $+$ . AttentionUne dérivée nulle ne suffit pas La condition « $f^{'} (a) = 0$ » est nécessaire pour un extremum local d'une fonction dérivable sur un intervalle ouvert, elle n'est pas suffisante. La fonction $c (x) = (x - 2)^{3} + 1$ vérifie $c^{'} (2) = 0$ et pourtant elle est strictement croissante partout : $c^{'} (x) = 3 (x - 2)^{2}$ ne s'annule qu'en $2$ et reste positive. C'est la distinction du chapitre 1, sur un cas où elle coûte des points. Exemple 5.17Le niveau de production le plus rentable Le bénéfice est $B (q) = - 0, 5 q^{2} + 6 q - 4, 5$ sur $[0, 12]$ , de dérivée $B^{'} (q) = - q + 6$ . Elle est positive sur $[0, 6 [$ , nulle en $6$ , négative sur $] 6, 12]$ : $B$ croît puis décroît, et le maximum est $B (6) = - 0, 5 \times 36 + 36 - 4, 5 = 13, 5.$ L'atelier doit produire $6$ milliers d'articles et gagne $13500$ euros. Attention : le coût moyen était minimal en $q = 3$ , pas en $q = 6$ . Produire au coût unitaire le plus bas et gagner le plus d'argent sont deux objectifs différents, et la dérivée les distingue. 5.4 Dérivée seconde et convexité Définition 5.18Dérivée seconde Si $f^{'}$ est elle-même dérivable, sa dérivée s'appelle la dérivée seconde de $f$ et se note $f^{''}$ . AttentionCe que nous n'écrirons pas Le programme est net : « La notion de fonction de classe $C^{p}$ ou $C^{\infty}$ est hors programme. » Nous dirons donc « deux fois dérivable », jamais « de classe », et n'irons pas au-delà de $f^{''}$ . Définition 5.19Fonction convexe, fonction concave Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessous de chacune de ses cordes. $f$ est concave sur $I$ si sa courbe est au-dessus de chacune de ses cordes. Une corde est le segment qui joint deux points de la courbe. Proposition 5.20Position par rapport aux tangentes Si $f$ est convexe et dérivable sur $I$ , sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Si $f$ est concave et dérivable, sa courbe est au-dessous de chacune de ses tangentes. ◆Théorème 5.21Reconnaître la convexité au signe de la dérivée seconde Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ . $f convexe sur I ⟺ f^{''} \geq 0 sur I, f concave sur I ⟺ f^{''} \leq 0 sur I .$ ImportantTout ce paragraphe est admis Le programme l'annonce : « Tous les résultats de ce paragraphe seront admis et illustrés par des représentations graphiques. » On ne démontre donc ni la position par rapport aux cordes ou aux tangentes, ni la caractérisation ci-dessus : on les utilise, et on les voit. AttentionUne chose que l'on ne demandera pas « L'inégalité de la convexité n'est pas un attendu. » Aucune majoration du type $f (t x + (1 - t) y) \leq t f (x) + (1 - t) f (y)$ ne sera donc manipulée pour elle-même : la convexité sert ici à préciser un tracé et à reconnaître un minimum, rien de plus. ↳Corollaire 5.22Convexe et dérivée nulle : c'est un minimum Si $f$ est convexe et deux fois dérivable sur un intervalle ouvert, et si $f^{'} (a) = 0$ , alors $f$ admet un minimum en $a$ . Exemple 5.23Le coût est convexe, le bénéfice est concave $C^{'} (q) = q + 2$ puis $C^{''} (q) = 1 > 0$ : le coût est convexe sur $R$ , et économiquement chaque article supplémentaire coûte plus cher que le précédent. $B (q) = - 0, 5 q^{2} + 6 q - 4, 5$ donne $B^{''} (q) = - 1 < 0$ : le bénéfice est concave, sa dérivée s'annule en $q = 6$ , et l'on retrouve sans tableau que c'est un maximum. Définition 5.24Point d'inflexion Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire un point où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe. La fonction y passe de concave à convexe, ou l'inverse. Exemple 5.25Le coût en $S$ et le seuil de rendements décroissants Beaucoup de coûts industriels ne sont convexes qu'à partir d'un certain volume : au début, l'atelier se rode et chaque article supplémentaire coûte moins cher. Prenons $C_{2} (q) = \frac{q ^{3}}{3} - 3 q^{2} + 12 q + 5, C_{2}^{'} (q) = q^{2} - 6 q + 12, C_{2}^{''} (q) = 2 q - 6.$ $C_{2}^{''}$ s'annule en $q = 3$ en changeant de signe : $C_{2}$ est concave sur $[0, 3]$ (rendements croissants) et convexe sur $[3, + \infty [$ (rendements décroissants). Le point d'inflexion est $(3; 23)$ , car $C_{2} (3) = 9 - 27 + 36 + 5 = 23$ . Au même endroit le coût marginal est minimal : $C_{2}^{'} (3) = 9 - 18 + 12 = 3$ . Le point d'inflexion du coût total est donc le minimum du coût marginal, le volume à partir duquel produire davantage recommence à coûter de plus en plus cher. Python : Retrouver la dérivée seconde par le calcul `def C2(q): return q*3/3 - 3q*2 + 12q + 5 h = 0.001 for q in [1, 2, 3, 4, 5]: d2 = (C2(q + h) - 2C2(q) + C2(q - h))/h2 print(q, round(d2, 3) + 0.0, 2q - 6) # 1 -4.0 -4 / 2 -2.0 -2 / 3 0.0 0 / 4 2.0 2 / 5 4.0 4` La quantité calculée est la variation de la variation : elle approche $C_{2}^{''}$ . La machine confirme le changement de signe en $q = 3$ , mais ne prouve rien au-delà des cinq valeurs testées : seul le calcul $C_{2}^{''} (q) = 2 q - 6$ le fait. iRemarqueQuatre phrases pour une seule idée Une fonction convexe « creuse vers le haut », ses cordes sont au-dessus, ses tangentes au-dessous, et sa dérivée est croissante. Ces quatre phrases disent la même chose, et se contrôlent d'un coup d'œil sur un tracé. 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5.1 Le nombre dérivé

Python : Le coût marginal contre la dérivée

5.2 La fonction dérivée et les règles de calcul

Python : Le coût moyen rattrapé par le coût marginal

5.3 Dérivée et variations

5.4 Dérivée seconde et convexité

Python : Retrouver la dérivée seconde par le calcul