Probabilités sur un univers fini

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 · prépa ECT, 1re année

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Une entreprise ne connaît pas l'avenir, mais elle sait souvent avec quelle fréquence les choses arrivent : un dossier sur six est incomplet, une pièce sur cinquante est défectueuse. Les probabilités mettent ces fréquences en calcul.

ImportantLe cadre de ce chapitre

Toutes les expériences considérées ici n'ont qu'un nombre fini de résultats possibles, ce qui suffit à traiter les situations de gestion : un tirage de dossiers, un contrôle qualité, un sondage. Les arbres pondérés rencontrés au lycée restent l'outil principal ; ce chapitre leur donne un vocabulaire et trois formules.

6.1 Expérience aléatoire, univers, événements

Définition 6.1Expérience aléatoire, univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se produira. L'ensemble de ces résultats s'appelle l'univers, noté $Ω$ ; ici il est toujours fini.

Définition 6.2Événement

Un événement est une partie de $Ω$ ; réduit à un seul résultat, il est dit élémentaire. $Ω$ lui-même est l'événement certain, $\emptyset$ l'événement impossible.

Exemple 6.3Un tirage de dossier

Un service classe $12$ dossiers numérotés de $1$ à $12$ et en tire un au hasard, donc $Ω = {1, 2, \dots, 12}$ . L'événement $A$ « le numéro est pair » est $A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}$ ; l'événement $B$ « le numéro est un multiple de $3$ » est $B = {3, 6, 9, 12}$ .

ImportantLe dictionnaire : de la langue courante aux ensembles

on dit …	on écrit …
$A$ et $B$ se produisent	$A \cap B$
$A$ ou $B$ se produit	$A \cup B$
$A$ ne se produit pas	$A$ (événement contraire)
$A$ et $B$ sont incompatibles	$A \cap B = \emptyset$
$A$ entraîne $B$	$A \subset B$

Tout le chapitre 1 sur les ensembles se relit ainsi. Les lois de Morgan, par exemple, disent que le contraire de « $A$ ou $B$ » est « ni $A$ ni $B$ ».

Définition 6.4Système complet d'événements

Des événements $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment un système complet si

ils sont deux à deux incompatibles : $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ dès que $i \neq = j$ ;
leur réunion est $Ω$ tout entier.

Autrement dit : quoi qu'il arrive, un et un seul des $A_{i}$ se produit.

iRemarqueLe seul type de système complet au programme

Le programme précise : « On se limitera aux systèmes complets d'événements de type $A_{1}, \dots, A_{n}$ où les $A_{i}$ sont des parties deux à deux disjointes et de réunion égale à $Ω$ . » Le cas le plus fréquent est le plus simple : ${A, A}$ est toujours un système complet.

6.2 Probabilité

Définition 6.5Probabilité

Une probabilité sur un univers fini $Ω$ est une application $P$ définie sur l'ensemble des parties de $Ω$ , à valeurs dans $[0, 1]$ , telle que

$P (Ω) = 1$ ;
pour tous événements incompatibles $A$ et $B$ : $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Proposition 6.6Les conséquences immédiates

Pour tous événements $A$ et $B$ :

$P (\emptyset) = 0$ ;
$P (A) = 1 - P (A)$ ;
si $A \subset B$ , alors $P (A) \leq P (B)$ ;
formule de Poincaré : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

Démonstration

$A$ et $A$ sont incompatibles et leur réunion est $Ω$ , donc $P (A) + P (A) = 1$ . En prenant $A = Ω$ on obtient $P (\emptyset) = 0$ .

Pour Poincaré, on découpe $A \cup B$ en trois morceaux incompatibles : ce qui n'est que dans $A$ , ce qui est dans les deux, ce qui n'est que dans $B$ . En ajoutant $P (A)$ et $P (B)$ on compte le milieu deux fois, on le retire une fois.

Important« Au moins un » se traite par le contraire

Chaque fois qu'un énoncé demande « au moins un », le calcul direct est long et celui du contraire est court : $P (au moins un) = 1 - P (aucun)$ . C'est le réflexe le plus rentable du chapitre.

◆Théorème 6.7Cas de l'équiprobabilité

Si tous les résultats élémentaires de $Ω$ ont la même probabilité, alors pour tout événement $A$ :

$P (A) = \frac{Card ( A )}{Card ( Ω )} = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles} .$

AttentionCompter, oui ; compter pour compter, non

Le programme est explicite : « La notion de cardinal est introduite pour son application au calcul des probabilités (uniquement dans le cas de l'équiprobabilité). Tout exercice de dénombrement pur est exclu. »

On ne rencontrera donc ni arrangement ni combinaison étudiés pour eux-mêmes : les situations comptées seront toujours immédiates, un tirage parmi $n$ objets. Les tirages successifs, eux, se traitent par un arbre.

Exemple 6.8Le tirage parmi douze dossiers

Reprenons $Ω = {1, \dots, 12}$ , avec équiprobabilité. Alors

$P (A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, P (A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6},$

car $A \cap B = {6, 12}$ . Poincaré donne alors

$P (A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} .$

Contrôle direct : $A \cup B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}$ compte $8$ éléments.

6.3 Probabilité conditionnelle

Définition 6.9Probabilité conditionnelle

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$

On la lit : « sachant que $A$ s'est produit, quelle chance reste-t-il à $B$ ? »

◆Théorème 6.10Formule des probabilités composées

Si $P (A) \neq = 0$ :

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) .$

Plus généralement, si $P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) \neq = 0$ :

$P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (A_{2}) P_{A_{1} \cap A_{2}} (A_{3}) \dots P_{A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}} (A_{n}) .$

ImportantL'arbre pondéré, mode d'emploi

Chaque branche porte une probabilité : simple au premier niveau, conditionnelle ensuite.
La somme des branches issues d'un même point vaut $1$ .
On multiplie le long d'un chemin, et l'on additionne les chemins qui conviennent.

Exemple 6.11Deux dossiers tirés sans remise

Un lot de $10$ dossiers en contient $3$ incomplets. On en tire deux successivement, sans remettre le premier. Notons $I_{k}$ l'événement : le $k$ -ième dossier tiré est incomplet.

Au premier tirage, $P (I_{1}) = \frac{3}{10}$ . S'il est incomplet, il reste $9$ dossiers dont $2$ incomplets, donc $P_{I_{1}} (I_{2}) = \frac{2}{9}$ , et la formule des probabilités composées donne

$P (I_{1} \cap I_{2}) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \approx 0, 067.$

De même $P (I_{1} \cap I_{2}) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ , si bien que la probabilité d'avoir au moins un dossier incomplet vaut $1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ .

Python : Une simulation corrobore, elle ne démontre pas


import random
random.seed(0)

lot = ["I"]*3 + ["C"]*7
n, deux = 100000, 0
for _ in range(n):
    if random.sample(lot, 2).count("I") == 2:
        deux = deux + 1

print(round(deux/n, 4), round(1/15, 4))
# 0.0663 0.0667

Cent mille tirages donnent $0, 0663$ pour une valeur exacte de $\frac{1}{15} \approx 0, 0667$ . La machine confirme le calcul, elle ne le remplace pas : une autre exécution donnerait un autre nombre.

6.4 Probabilités totales et formule de Bayes

◆Théorème 6.12Formule des probabilités totales

Soit $A_{1}, \dots, A_{n}$ un système complet d'événements de probabilités non nulles. Alors, pour tout événement $B$ :

$P (B) = i = 1 \sum n P (B \cap A_{i}) = i = 1 \sum n P (A_{i}) P_{A_{i}} (B) .$

Démonstration

Les $A_{i}$ découpent $Ω$ , donc ils découpent $B$ en morceaux $B \cap A_{i}$ deux à deux incompatibles dont la réunion est $B$ . La probabilité d'une réunion d'incompatibles est la somme des probabilités, d'où la première égalité ; la seconde est la formule des probabilités composées, terme à terme.

Exemple 6.13Quel taux de dossiers incomplets pour l'ensemble ?

Une société reçoit ses dossiers de deux agences : $60 %$ viennent de $A_{1}$ et $40 %$ de $A_{2}$ . À l'agence $A_{1}$ , $10 %$ des dossiers sont incomplets ; à l'agence $A_{2}$ , $25 %$ le sont. Comme ${A_{1}, A_{2}}$ est un système complet,

$P (I) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (I) + P (A_{2}) P_{A_{2}} (I) = 0, 60 \times 0, 10 + 0, 40 \times 0, 25 = 0, 06 + 0, 10 = 0, 16.$

Seize pour cent des dossiers sont incomplets. C'est la somme des deux chemins de l'arbre qui aboutissent à $I$ .

◆Théorème 6.14Formule de Bayes

Si $P (A) \neq = 0$ et $P (B) \neq = 0$ :

$P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( B )} .$

Le dénominateur $P (B)$ se calcule le plus souvent par la formule des probabilités totales.

Exemple 6.15D'où vient un dossier incomplet ?

Un dossier incomplet arrive sur un bureau. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'agence $A_{1}$ ? La formule de Bayes donne

$P_{I} (A_{1}) = \frac{P ( A _{1} ) P _{A_{1}} ( I )}{P ( I )} = \frac{0 , 06}{0 , 16} = 0, 375, et donc P_{I} (A_{2}) = \frac{0 , 10}{0 , 16} = 0, 625.$

À lire attentivement. L'agence $A_{2}$ ne fournit que $40 %$ des dossiers, mais $62, 5 %$ des dossiers incomplets : c'est elle qu'il faut auditer d'abord. Bayes sert exactement à ce renversement.

ImportantDeux probabilités que l'on confond sans arrêt

$P_{A_{1}} (I) = 0, 10$ est la proportion de dossiers incomplets parmi ceux de $A_{1}$ ; $P_{I} (A_{1}) = 0, 375$ est la proportion venant de $A_{1}$ parmi les incomplets. Le sens du conditionnement change tout : on ne peut pas échanger les deux événements sans repasser par la formule de Bayes.

Python : Totales et Bayes en quatre lignes


p = [0.60, 0.40]
t = [0.10, 0.25]

pI = p[0]*t[0] + p[1]*t[1]
print(round(pI, 4))
print(round(p[0]*t[0]/pI, 4), round(p[1]*t[1]/pI, 4))
# 0.16
# 0.375 0.625

La première ligne imprimée est la formule des probabilités totales, la seconde celle de Bayes appliquée deux fois. Leur somme vaut $1$ : ${A_{1}, A_{2}}$ reste un système complet, même une fois $I$ connu.

6.5 Indépendance

Définition 6.16Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B) .$

Proposition 6.17La lecture conditionnelle

Si $P (A) \neq = 0$ , alors $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_{A} (B) = P (B)$ .

Démonstration

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ . Cette quantité vaut $P (B)$ si et seulement si $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ , ce qui est la définition.

ImportantCe que « indépendant » veut dire

Apprendre que $A$ s'est produit ne change rien à la chance de $B$ : un tirage avec remise, deux machines sans pièce commune, deux clients qui ne se connaissent pas. Ce n'est pas le cas d'un tirage sans remise, où le premier tirage modifie le contenu du lot.

AttentionIncompatibles et indépendants sont deux mots contraires

Si $A$ et $B$ sont incompatibles et de probabilités non nulles, alors $P (A \cap B) = 0$ tandis que $P (A) P (B) > 0$ : ils ne sont jamais indépendants. C'est logique, savoir que $A$ s'est produit interdit $B$ — le contraire de « ne rien apprendre ». La ressemblance des deux mots est un piège de la langue française, pas une parenté mathématique.

Définition 6.18Indépendance mutuelle

Des événements $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont mutuellement indépendants si la probabilité de l'intersection de n'importe quels d'entre eux est le produit de leurs probabilités. On peut alors remplacer certains $A_{i}$ par leurs contraires $A_{i}$ sans perdre l'indépendance mutuelle.

Exemple 6.19Deux machines qui tombent en panne séparément

Deux machines fonctionnent indépendamment. La première tombe en panne un jour donné avec la probabilité $0, 05$ , la seconde avec $0, 08$ . Alors

$P (aucune panne) = 0, 95 \times 0, 92 = 0, 874,$

donc $P (au moins une panne) = 1 - 0, 874 = 0, 126$ . On obtient aussi $P (les deux) = 0, 004$ et, par différence, $P (exactement une) = 0, 122$ . Le passage aux contraires est légitime parce que l'indépendance se conserve, comme le dit la définition ci-dessus.

Python : Un test d'indépendance


def independants(pa, pb, pab):
    return abs(pab - pa*pb) < 1e-12

print(independants(1/2, 1/3, 1/6))
print(independants(0.30, 0.50, 0.0))
# True
# False

Le premier appel est celui des dossiers pairs et multiples de $3$ : indépendants. Le second, celui de deux événements incompatibles de probabilités non nulles : ils ne le sont pas, et ne le seront jamais.

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