Probabilités sur un univers fini

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les 36 issues d'un lancer de deux dés : les six issues de somme 7 forment une diagonale.

Une entreprise ne connaît pas l'avenir, mais elle sait souvent avec quelle fréquence les choses arrivent : un dossier sur six est incomplet, une pièce sur cinquante est défectueuse. Les probabilités mettent ces fréquences en calcul.

ImportantLe cadre de ce chapitre

Toutes les expériences considérées ici n'ont qu'un nombre fini de résultats possibles, ce qui suffit à traiter les situations de gestion : un tirage de dossiers, un contrôle qualité, un sondage. Les arbres pondérés rencontrés au lycée restent l'outil principal ; ce chapitre leur donne un vocabulaire et trois formules.

6.1 Expérience aléatoire, univers, événements

Définition 6.1Expérience aléatoire, univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se produira. L'ensemble de ces résultats s'appelle l'univers, noté $Ω$ ; ici il est toujours fini.

Définition 6.2Événement

Un événement est une partie de $Ω$ ; réduit à un seul résultat, il est dit élémentaire. $Ω$ lui-même est l'événement certain, $\emptyset$ l'événement impossible.

Exemple 6.3Un tirage de dossier

Un service classe $12$ dossiers numérotés de $1$ à $12$ et en tire un au hasard, donc $Ω = {1, 2, \dots, 12}$ . L'événement $A$ « le numéro est pair » est $A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}$ ; l'événement $B$ « le numéro est un multiple de $3$ » est $B = {3, 6, 9, 12}$ .

ImportantLe dictionnaire : de la langue courante aux ensembles

on dit …	on écrit …
$A$ et $B$ se produisent	$A \cap B$
$A$ ou $B$ se produit	$A \cup B$
$A$ ne se produit pas	$A$ (événement contraire)
$A$ et $B$ sont incompatibles	$A \cap B = \emptyset$
$A$ entraîne $B$	$A \subset B$

Tout le chapitre 1 sur les ensembles se relit ainsi. Les lois de Morgan, par exemple, disent que le contraire de « $A$ ou $B$ » est « ni $A$ ni $B$ ».

Définition 6.4Système complet d'événements

Des événements $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment un système complet si

ils sont deux à deux incompatibles : $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ dès que $i \neq = j$ ;
leur réunion est $Ω$ tout entier.

Autrement dit : quoi qu'il arrive, un et un seul des $A_{i}$ se produit.

iRemarqueLe seul type de système complet au programme

Le programme précise : « On se limitera aux systèmes complets d'événements de type $A_{1}, \dots, A_{n}$ où les $A_{i}$ sont des parties deux à deux disjointes et de réunion égale à $Ω$ . » Le cas le plus fréquent est le plus simple : ${A, A}$ est toujours un système complet.

6.2 Probabilité

Définition 6.5Probabilité

Une probabilité sur un univers fini $Ω$ est une application $P$ définie sur l'ensemble des parties de $Ω$ , à valeurs dans $[0, 1]$ , telle que

$P (Ω) = 1$ ;
pour tous événements incompatibles $A$ et $B$ : $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Proposition 6.6Les conséquences immédiates

Pour tous événements $A$ et $B$ :

$P (\emptyset) = 0$ ;
$P (A) = 1 - P (A)$ ;
si $A \subset B$ , alors $P (A) \leq P (B)$ ;
formule de Poincaré : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

Exercices du chapitre

Décrire un univers et des événements corrigé
Contraire, réunion, différence corrigé
Quatre probabilités à partir de trois corrigé
Deux canaux de vente corrigé
Équiprobabilité sur un lot corrigé
Un dossier tiré parmi soixante corrigé

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