Variables aléatoires finies

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

Le chapitre précédent calculait la probabilité d'un événement. Celui-ci mesure un nombre qui dépend du hasard : un chiffre d'affaires, un nombre de réclamations, le coût d'une réparation. On veut alors deux renseignements que tout gestionnaire réclame : combien en moyenne, et avec quelle régularité.

ImportantLe fil rouge du chapitre

Un représentant réalise, sur une journée, un chiffre d'affaires $X$ exprimé en milliers d'euros. L'expérience montre que $X$ vaut $10$ une fois sur cinq, $20$ une fois sur deux, et $30$ trois fois sur dix.

Nous calculerons sur cette seule variable l'espérance, la variance, l'écart-type et la variable centrée réduite. Toutes les valeurs tomberont juste : $E (X) = 21$ , $V (X) = 49$ , $σ (X) = 7$ .

7.1 Variable aléatoire et loi

Définition 7.1Variable aléatoire

Soit $Ω$ un univers fini. Une variable aléatoire réelle est une application $X$ de $Ω$ dans $R$ .

L'ensemble de ses valeurs se note $X (Ω) = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ .

ImportantLes notations à connaître

Pour un réel $x$ , on note

$[X = x] = {ω \in Ω : X (ω) = x}, [X \leq x] = {ω \in Ω : X (ω) \leq x} .$

Ce sont des événements, donc des parties de $Ω$ : tout le chapitre 6 s'applique à eux. On écrit $P (X = x)$ pour $P ([X = x])$ .

Définition 7.2Loi de probabilité

La loi de $X$ est la donnée des valeurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ et des probabilités $P (X = x_{i})$ . On la présente en tableau.

Les événements $[X = x_{1}], \dots, [X = x_{n}]$ forment un système complet : leur somme de probabilités vaut donc toujours $1$ .

Exemple 7.3La loi du chiffre d'affaires

$x_{i}$	$10$	$20$	$30$
$P (X = x_{i})$	$0, 2$	$0, 5$	$0, 3$

La somme $0, 2 + 0, 5 + 0, 3$ vaut $1$ : c'est le premier contrôle à faire sur toute loi, et il détecte la plupart des erreurs de lecture d'énoncé.

7.2 Fonction de répartition

Définition 7.4Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F_{X}$ définie sur $R$ par

$F_{X} (x) = P ([X \leq x]) .$

Proposition 7.5Ce à quoi elle ressemble

$F_{X}$ est croissante, à valeurs dans $[0, 1]$ , constante par morceaux, et elle saute de $P (X = x_{i})$ en chaque valeur $x_{i}$ . Elle vaut $0$ avant la plus petite valeur de $X$ et $1$ à partir de la plus grande.

ImportantElle caractérise la loi

Deux variables aléatoires qui ont la même fonction de répartition ont la même loi. Le programme admet ce résultat ; il justifie qu'on puisse décrire une variable par $F_{X}$ plutôt que par son tableau.

Exercices du chapitre

Une variable à deux valeurs corrigé
Deux dossiers tirés sans remise corrigé
Le plus grand des deux numéros corrigé
Retrouver une loi corrigé
Espérance et variance à partir d'un tableau corrigé
Fonction de répartition corrigé

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