Variables aléatoires finies

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 · prépa ECT, 1re année

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Le chapitre précédent calculait la probabilité d'un événement. Celui-ci mesure un nombre qui dépend du hasard : un chiffre d'affaires, un nombre de réclamations, le coût d'une réparation. On veut alors deux renseignements que tout gestionnaire réclame : combien en moyenne, et avec quelle régularité.

ImportantLe fil rouge du chapitre

Un représentant réalise, sur une journée, un chiffre d'affaires $X$ exprimé en milliers d'euros. L'expérience montre que $X$ vaut $10$ une fois sur cinq, $20$ une fois sur deux, et $30$ trois fois sur dix.

Nous calculerons sur cette seule variable l'espérance, la variance, l'écart-type et la variable centrée réduite. Toutes les valeurs tomberont juste : $E (X) = 21$ , $V (X) = 49$ , $σ (X) = 7$ .

7.1 Variable aléatoire et loi

Définition 7.1Variable aléatoire

Soit $Ω$ un univers fini. Une variable aléatoire réelle est une application $X$ de $Ω$ dans $R$ .

L'ensemble de ses valeurs se note $X (Ω) = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ .

ImportantLes notations à connaître

Pour un réel $x$ , on note

$[X = x] = {ω \in Ω : X (ω) = x}, [X \leq x] = {ω \in Ω : X (ω) \leq x} .$

Ce sont des événements, donc des parties de $Ω$ : tout le chapitre 6 s'applique à eux. On écrit $P (X = x)$ pour $P ([X = x])$ .

Définition 7.2Loi de probabilité

La loi de $X$ est la donnée des valeurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ et des probabilités $P (X = x_{i})$ . On la présente en tableau.

Les événements $[X = x_{1}], \dots, [X = x_{n}]$ forment un système complet : leur somme de probabilités vaut donc toujours $1$ .

Exemple 7.3La loi du chiffre d'affaires

$x_{i}$	$10$	$20$	$30$
$P (X = x_{i})$	$0, 2$	$0, 5$	$0, 3$

La somme $0, 2 + 0, 5 + 0, 3$ vaut $1$ : c'est le premier contrôle à faire sur toute loi, et il détecte la plupart des erreurs de lecture d'énoncé.

7.2 Fonction de répartition

Définition 7.4Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F_{X}$ définie sur $R$ par

$F_{X} (x) = P ([X \leq x]) .$

Proposition 7.5Ce à quoi elle ressemble

$F_{X}$ est croissante, à valeurs dans $[0, 1]$ , constante par morceaux, et elle saute de $P (X = x_{i})$ en chaque valeur $x_{i}$ . Elle vaut $0$ avant la plus petite valeur de $X$ et $1$ à partir de la plus grande.

ImportantElle caractérise la loi

Deux variables aléatoires qui ont la même fonction de répartition ont la même loi. Le programme admet ce résultat ; il justifie qu'on puisse décrire une variable par $F_{X}$ plutôt que par son tableau.

Exemple 7.6Lire une probabilité sur la fonction de répartition

Avec le chiffre d'affaires du fil rouge :

$F_{X} (x) = 0 si x < 10, 0, 2 si 10 \leq x < 20, 0, 7 si 20 \leq x < 30, 1 si x \geq 30.$

On en déduit $P (X > 20) = 1 - F_{X} (20) = 1 - 0, 7 = 0, 3$ , et $P (10 < X \leq 30) = F_{X} (30) - F_{X} (10) = 1 - 0, 2 = 0, 8$ .

AttentionLe sens des inégalités n'est pas décoratif

$F_{X} (x)$ est $P (X \leq x)$ , avec un large. C'est pourquoi $P (X > x) = 1 - F_{X} (x)$ , tandis que $P (X \geq x)$ vaut autre chose dès que $x$ est une valeur prise par $X$ : ici $P (X \geq 20) = 0, 8$ alors que $P (X > 20) = 0, 3$ .

Sur une variable finie, un « $\leq$ » changé en « $<$ » retire une valeur entière de probabilité. La confusion coûte un exercice entier.

7.3 Espérance

Définition 7.7Espérance

Soit $X$ une variable aléatoire finie de valeurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ . Son espérance est

$E (X) = i = 1 \sum n x_{i} P (X = x_{i}) .$

C'est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités.

Exemple 7.8L'espérance du chiffre d'affaires

$E (X) = 10 \times 0, 2 + 20 \times 0, 5 + 30 \times 0, 3 = 2 + 10 + 9 = 21.$

Le représentant réalise donc $21$ milliers d'euros en moyenne par journée — une valeur que $X$ ne prend jamais. L'espérance n'est pas une prévision, c'est une moyenne à long terme.

◆Théorème 7.9Linéarité de l'espérance

Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ sur le même univers, et tous réels $a$ et $b$ :

$E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y), en particulier E (a X + b) = a E (X) + b .$

Exemple 7.10Une prime affine

Le représentant touche une prime $Y = 3 X - 10$ (en centaines d'euros). Alors

$E (Y) = 3 E (X) - 10 = 3 \times 21 - 10 = 53.$

On peut le vérifier en repassant par la loi de $Y$ , qui prend les valeurs $20$ , $50$ et $80$ avec les mêmes probabilités : $20 \times 0, 2 + 50 \times 0, 5 + 80 \times 0, 3 = 4 + 25 + 24 = 53$ .

◆Théorème 7.11Théorème de transfert

Soit $g$ une fonction à valeurs réelles. Alors

$E (g (X)) = i = 1 \sum n g (x_{i}) P (X = x_{i}) .$

On calcule donc $E (g (X))$ sans déterminer la loi de $g (X)$ .

ImportantCe théorème est admis

Le programme l'écrit : « Théorème admis. » Il vaut son poids d'or : il évite tout le travail de regroupement des valeurs, qui est justement l'endroit où l'on se trompe.

Exemple 7.12Transfert sur un carré

Soit $X$ de valeurs $- 2$ , $0$ , $2$ avec les probabilités $0, 3$ , $0, 5$ , $0, 2$ . Le transfert avec $g (x) = x^{2}$ donne

$E (X^{2}) = (- 2)^{2} \times 0, 3 + 0^{2} \times 0, 5 + 2^{2} \times 0, 2 = 1, 2 + 0 + 0, 8 = 2.$

La loi de $Y = X^{2}$ , qui prend $0$ et $4$ chacun avec la probabilité $0, 5$ , donne bien $E (Y) = 0 \times 0, 5 + 4 \times 0, 5 = 2$ . Le transfert a évité ce détour.

Python : Espérance et moment d'ordre deux


valeurs = [10, 20, 30]
proba = [0.2, 0.5, 0.3]

E = sum(v*p for v, p in zip(valeurs, proba))
E2 = sum(v*v*p for v, p in zip(valeurs, proba))
print(round(E, 4), round(E2, 4), round(E2 - E**2, 4))
# 21.0 490.0 49.0

La deuxième somme est le théorème de transfert avec $g (x) = x^{2}$ ; la troisième quantité est la variance, que la section suivante définit. Trois lignes suffisent parce que la formule est une somme pondérée.

7.4 Variance et écart-type

Définition 7.13Variance, écart-type

La variance de $X$ est l'espérance du carré de l'écart à la moyenne :

$V (X) = E ((X - E (X))^{2}) .$

L'écart-type est $σ (X) = V (X)$ .

◆Théorème 7.14Formule de Kœnig-Huygens

$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} .$

ImportantAdmis aussi, et à employer toujours

Le programme admet cette formule. En pratique on ne calcule presque jamais la variance par la définition : on calcule $E (X)$ , puis $E (X^{2})$ par transfert, et l'on soustrait. C'est plus court et cela évite de manipuler des écarts.

Exemple 7.15La variance du chiffre d'affaires

On a déjà $E (X) = 21$ . Par transfert,

$E (X^{2}) = 100 \times 0, 2 + 400 \times 0, 5 + 900 \times 0, 3 = 20 + 200 + 270 = 490.$

Kœnig-Huygens donne alors $V (X) = 490 - 2 1^{2} = 490 - 441 = 49$ , donc $σ (X) = 7$ .

Par la définition, on aurait écrit $0, 2 \times 1 1^{2} + 0, 5 \times 1^{2} + 0, 3 \times 9^{2} = 24, 2 + 0, 5 + 24, 3 = 49$ . Le même nombre, en trois fois plus de temps.

Proposition 7.16Effet d'une transformation affine

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$V (a X + b) = a^{2} V (X), donc σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X) .$

AttentionAjouter une constante ne change pas la dispersion

Le $b$ a disparu, et ce n'est pas un oubli : décaler toutes les valeurs de la même quantité déplace la moyenne sans écarter les valeurs entre elles. En revanche multiplier par $a$ multiplie l'écart-type par $∣ a ∣$ , et la variance par $a^{2}$ .

C'est aussi pourquoi la variance ne s'exprime pas dans la même unité que $X$ : si $X$ est en euros, $V (X)$ est en euros au carré. Seul l'écart-type est lisible.

Exemple 7.17La variance de la prime

Avec $Y = 3 X - 10$ : $V (Y) = 3^{2} \times 49 = 441$ et $σ (Y) = 3 \times 7 = 21$ . On le contrôle sur la loi de $Y$ : $E (Y^{2}) = 400 \times 0, 2 + 2500 \times 0, 5 + 6400 \times 0, 3 = 3250$ , et $3250 - 5 3^{2} = 441$ .

Exemple 7.18Même espérance, risques opposés

Soit $Z$ de valeurs $19$ , $21$ , $23$ avec les probabilités $0, 25$ , $0, 5$ , $0, 25$ . Alors $E (Z) = 21$ comme pour $X$ , mais

$E (Z^{2}) = 361 \times 0, 25 + 441 \times 0, 5 + 529 \times 0, 25 = 443, V (Z) = 443 - 441 = 2.$

Donc $σ (Z) = 2 \approx 1, 41$ contre $σ (X) = 7$ . Les deux rapportent autant en moyenne, mais $Z$ est cinq fois plus régulier. Un gestionnaire qui doit garantir un résultat choisira $Z$ ; un gestionnaire qui cherche une chance de faire $30$ choisira $X$ .

Python : Variance par les deux chemins


valeurs = [10, 20, 30]
proba = [0.2, 0.5, 0.3]

E = sum(v*p for v, p in zip(valeurs, proba))
parDef = sum((v - E)**2*p for v, p in zip(valeurs, proba))
parKH = sum(v*v*p for v, p in zip(valeurs, proba)) - E**2
print(round(parDef, 4), round(parKH, 4))
# 49.0 49.0

Les deux chemins donnent le même nombre, comme l'annonce Kœnig-Huygens. Le second n'a pas eu besoin de la moyenne pour former les écarts, ce qui explique qu'il soit plus rapide à la main.

7.5 Variable centrée réduite

Définition 7.19Variable centrée, centrée réduite

$X$ est centrée si $E (X) = 0$ , et réduite si $σ (X) = 1$ .

Si $σ (X) \neq = 0$ , la variable

$X^{*} = \frac{X - E ( X )}{σ ( X )}$

s'appelle la variable centrée réduite associée à $X$ .

Proposition 7.20Elle est bien centrée et réduite

$E (X^{*}) = 0$ et $V (X^{*}) = 1$ .

Démonstration

Posons $m = E (X)$ et $s = σ (X)$ . Par linéarité, $E (X^{*}) = \frac{1}{s} (E (X) - m) = 0$ . Par la proposition sur les transformations affines, $V (X^{*}) = \frac{1}{s ^{2}} V (X) = \frac{s ^{2}}{s ^{2}} = 1$ .

Exemple 7.21Centrer et réduire le chiffre d'affaires

Avec $E (X) = 21$ et $σ (X) = 7$ , la variable $X^{*} = \frac{X - 21}{7}$ prend les valeurs

$\frac{10 - 21}{7} = - \frac{11}{7} \approx - 1, 57, \frac{20 - 21}{7} = - \frac{1}{7} \approx - 0, 14, \frac{30 - 21}{7} = \frac{9}{7} \approx 1, 29,$

avec les probabilités inchangées $0, 2$ , $0, 5$ , $0, 3$ . On vérifie $E (X^{*}) = \frac{1}{7} (- \frac{11}{5} - \frac{1}{2} + \frac{27}{10}) = 0$ .

À quoi cela sert. Une journée à $30$ se lit désormais « à $1, 29$ écart-type au-dessus de la moyenne », ce qui se compare à n'importe quelle autre variable, dans n'importe quelle unité.

Python : Centrer et réduire


valeurs = [10, 20, 30]
proba = [0.2, 0.5, 0.3]

E = sum(v*p for v, p in zip(valeurs, proba))
s = (sum(v*v*p for v, p in zip(valeurs, proba)) - E**2)**0.5
etoile = [(v - E)/s for v in valeurs]

print(round(E, 4), round(s, 4))
print([round(u, 4) for u in etoile])
print(round(sum(u*p for u, p in zip(etoile, proba)), 12))
# 21.0 7.0
# [-1.5714, -0.1429, 1.2857]
# 0.0

La dernière ligne est l'espérance de $X^{*}$ : elle vaut $0$ , comme annoncé. On l'arrondit à douze décimales parce que le calcul flottant ne rend jamais un zéro parfaitement propre.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices