Systèmes linéaires et calcul matriciel

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice échelonnée par le pivot de Gauss : pivots sur la diagonale, zéros en dessous.

Une entreprise fabrique trois produits, et chacun consomme des heures dans trois ateliers. Combien produire de chaque, pour occuper exactement les heures disponibles ? La question s'écrit en trois équations à trois inconnues, et ce chapitre donne la méthode qui les résout à coup sûr : le pivot de Gauss. Il donne aussi l'outil qui range ces données sans les recopier dix fois : la matrice, un tableau de nombres muni d'opérations qui traduisent des calculs de gestion.

AttentionLe registre de ce chapitre

Le programme est explicite dès sa première ligne : « Ce chapitre sera repris, en deuxième année, avec une étude plus spécifique des matrices carrées. Tout développement théorique est hors programme. »

Il ajoute, pour le pivot : « On présentera la méthode du pivot de Gauss à l'aide d'exemples numériques et on se limitera à des systèmes de trois équations à trois inconnues. » Et pour les matrices : « La notation des coefficients sous la forme $m_{i, j}$ n'est pas un attendu du programme. Le programme exclut toute notion de structure. »

On travaille donc sur des nombres, avec des exemples issus de situations concrètes. Rien ne sera démontré sur les matrices : le programme précise que « les propriétés des opérations seront admises sans démonstration et illustrées sur des exemples ».

8.1 Systèmes linéaires

Définition 8.1Système linéaire

Une équation est linéaire en les inconnues $x$ , $y$ , $z$ lorsqu'elle s'écrit $a x + b y + cz = d$ , avec $a$ , $b$ , $c$ , $d$ réels : les inconnues n'y apparaissent qu'à la puissance $1$ , jamais multipliées entre elles, jamais sous une racine.

Un système linéaire est une liste de telles équations. Le résoudre, c'est décrire tous les triplets $(x, y, z)$ qui les vérifient toutes à la fois.

Exemple 8.2Deux équations, deux inconnues

Pour le système $2 x + y = 7$ et $x - y = 2$ , ajouter les deux lignes fait disparaître $y$ : $3 x = 9$ , donc $x = 3$ , et la seconde ligne donne $y = x - 2 = 1$ .

Contrôle, toujours : $2 \times 3 + 1 = 7$ et $3 - 1 = 2$ . Le couple $(3; 1)$ est bien solution, et c'est la seule.

ImportantCe qu'un système à deux inconnues veut dire

Chaque équation $a x + b y = c$ est l'équation d'une droite du plan. Résoudre le système, c'est chercher les points communs à ces droites. Il n'y a donc que trois issues possibles :

les droites se coupent en un point : une solution ;
elles sont strictement parallèles : aucune solution ;
elles sont confondues : une infinité de solutions.

Un système linéaire n'a jamais exactement deux solutions.

iRemarqueEt avec trois inconnues ?

Chaque équation $a x + b y + cz = d$ décrit alors un plan de l'espace, et les trois mêmes issues subsistent : un point, aucun point, ou une infinité. Cette lecture explique pourquoi la liste des cas ne s'allonge pas.

8.2 Les opérations élémentaires sur les lignes

ImportantLe codage officiel des opérations

Trois transformations ne changent pas l'ensemble des solutions d'un système. On les note ainsi, et on les écrit à côté de la ligne transformée :

$L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ : échanger deux lignes ;
$L_{i} \leftarrow α L_{i}$ avec $α \neq = 0$ : multiplier une ligne par un nombre non nul ;
$L_{i} \leftarrow L_{i} + β L_{j}$ avec $i \neq = j$ : ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.

On combine les deux dernières en $L_{i} \leftarrow α L_{i} + β L_{j}$ , avec $i \neq = j$ et $α \neq = 0$ .

AttentionLa ligne qu'on modifie n'est jamais celle qu'on utilise

Dans $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ , la ligne $L_{1}$ sert sans être touchée : elle reste disponible pour la suite. Écrire au contraire $L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 L_{3}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ dans le même mouvement, en se servant deux fois de valeurs déjà modifiées, produit un système qui n'a plus rien à voir avec le premier. Une opération à la fois, et on note laquelle.

Exercices du chapitre

Un système de deux équations corrigé
Reconnaître les trois cas corrigé
Un premier pivot à trois inconnues corrigé
Un système sans solution corrigé
Un système qui dépend d'un paramètre corrigé
Quatre équations, trois inconnues corrigé

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