Compléments sur les suites et la continuité

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 · prépa ECT, 1re année

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Le premier semestre a donné les suites usuelles et leur terme général. Ce chapitre pose la question qui compte en gestion : où va une suite quand $n$ grandit — vers un chiffre d'affaires d'équilibre, vers zéro, vers l'infini ? Puis il rend le même service aux fonctions, avec un théorème qui garantit qu'une équation a une solution, et un algorithme qui va la chercher.

AttentionLe registre de ce chapitre

Le programme est catégorique : « Toute étude théorique sur les limites (suites ou fonctions) est exclue. On utilise autant que possible des représentations graphiques pour présenter et illustrer les concepts introduits. Les résultats seront énoncés sans démonstration. »

Aucun résultat de ce chapitre ne sera donc démontré, et ce n'est pas une paresse : c'est la consigne. En revanche, chacun sera lu sur un graphique et mis à l'épreuve sur des nombres. Le programme ajoute que « le théorème de composition de limite d'une suite convergente par une fonction continue est hors-programme », et que « toute étude théorique sur les fonctions réciproques est exclue ».

9.1 Suites majorées, minorées, monotones

Définition 9.1Majorée, minorée, bornée

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

Elle est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ .
Elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_{n} \geq m$ pour tout $n$ .
Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Un majorant n'est jamais unique : si $M$ convient, $M + 1$ aussi.

Définition 9.2Monotone

$(u_{n})$ est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , et décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ pour tout $n$ . Elle est monotone si elle est de l'un des deux types.

En pratique on étudie le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ; si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .

iRemarqueMajorant, maximum, limite : trois mots à ne pas confondre

Un majorant est un plafond, atteint ou non ; il y en a une infinité. Un maximum est un majorant qui est un terme de la suite. Une limite est la valeur dont les termes se rapprochent indéfiniment.

Sur la figure ci-dessus, $2$ est un majorant et la limite, mais ce n'est pas un maximum : aucun terme ne vaut $2$ . Et $1$ est à la fois un minorant et le minimum, puisque $u_{0} = 1$ .

Exemple 9.3Étudier la monotonie sur une différence

Pour $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1}$ , écrivons $u_{n} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ . Alors

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{( n + 2 ) - ( n + 1 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0.$

La suite est strictement croissante. Elle est minorée par $u_{0} = 1$ et majorée par $2$ , car $\frac{1}{n + 1} > 0$ entraîne $u_{n} < 2$ .

9.2 Limite d'une suite

Définition 9.4Suite convergente

Le programme définit la convergence ainsi : « $(u_{n})_{n \in N}$ converge vers $ℓ \in R$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient les $u_{n}$ pour tous les indices $n$ sauf pour un nombre fini d'entre eux. »

On note alors $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ . Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Définition 9.5Limite infinie

$(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $] A, + \infty [$ contient les $u_{n}$ à partir d'un certain rang ; on note $lim u_{n} = + \infty$ . On définit de même $- \infty$ .

Une telle suite est divergente : elle n'a pas de limite finie.

◆Théorème 9.6Unicité de la limite

Si une suite converge, sa limite est unique. Le résultat est admis.

ImportantLes limites de référence

Pour tout réel $q$ :

$n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0, n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0, n \to + \infty lim n = + \infty,$

et pour la suite géométrique $(q^{n})$ : $q^{n} \to 0$ si $∣ q ∣ < 1$ ; $q^{n} \to + \infty$ si $q > 1$ ; $q^{n} = 1$ pour tout $n$ si $q = 1$ ; et $(q^{n})$ n'a pas de limite si $q \leq - 1$ .

Exemple 9.7Une dépréciation, et un capital

Un matériel valant $12000$ euros perd $15 %$ de sa valeur chaque année : sa valeur au bout de $n$ ans est $V_{n} = 12000 \times (0, 85)^{n}$ . Comme $∣0, 85∣ < 1$ , on a $V_{n} \to 0$ : comptablement, le matériel finit par ne plus rien valoir.

Un capital de $12000$ euros placé à $3 %$ donne au contraire $C_{n} = 12000 \times (1, 03)^{n}$ , et $1, 03 > 1$ donne $C_{n} \to + \infty$ . La même formule, deux raisons, deux destins opposés : tout se joue sur la position de la raison par rapport à $1$ .

9.3 Opérations sur les limites

ImportantCe qui se calcule sans réfléchir

Si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ (limites finies), alors

$u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}, u_{n} v_{n} \to ℓ ℓ^{'}, \frac{u _{n}}{v _{n}} \to \frac{ℓ}{ℓ ^{'}} si ℓ^{'} \neq = 0.$

Les règles s'étendent aux limites infinies avec les conventions usuelles : $(+ \infty) + (+ \infty) = + \infty$ , $ℓ \times (+ \infty) = + \infty$ si $ℓ > 0$ , $\frac{ℓ}{\pm \infty} = 0$ .

AttentionLes quatre formes indéterminées

Quatre écritures ne permettent aucune conclusion immédiate :

$(+ \infty) - (+ \infty), 0 \times (\pm \infty), \frac{\pm \infty}{\pm \infty}, \frac{0}{0} .$

« Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que la forme seule ne décide pas, et qu'il faut transformer l'écriture. Pour un quotient de polynômes en $n$ , on met en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Exemple 9.8Trois quotients, trois issues

$\frac{3 n ^{2} + 1}{2 n ^{2} - n} = \frac{n ^{2} ( 3 + \frac{1}{n ^{2}} )}{n ^{2} ( 2 - \frac{1}{n} )} ⟶ \frac{3}{2},$

tandis que $\frac{n + 5}{n ^{2}} = \frac{1}{n} + \frac{5}{n ^{2}} \to 0$ et $\frac{n ^{3}}{2 n + 7} \to + \infty$ . Les trois sont de la forme $\frac{+ \infty}{+ \infty}$ : c'est bien la forme qui ne décide de rien.

AttentionUn théorème que le programme retire

On serait tenté d'écrire : « $u_{n} \to ℓ$ et $f$ continue, donc $f (u_{n}) \to f (ℓ)$ ». Le programme l'exclut nommément : « le théorème de composition de limite d'une suite convergente par une fonction continue est hors-programme ».

Ce résultat ne sera donc jamais invoqué comme argument dans une copie. Il reste que, dans les exercices de ce chapitre, la limite d'une suite récurrente se cherche en résolvant l'équation du point fixe une fois la convergence acquise par ailleurs.

9.4 Encadrement et limite monotone

◆Théorème 9.9Compatibilité avec l'ordre, et encadrement

Soient $(a_{n})$ , $(u_{n})$ , $(c_{n})$ trois suites.

Si $u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n$ et si les deux suites convergent, alors $lim u_{n} \leq lim v_{n}$ .
Encadrement. Si $a_{n} \leq u_{n} \leq c_{n}$ pour tout $n$ et si $a_{n} \to ℓ$ et $c_{n} \to ℓ$ , alors $(u_{n})$ converge et $u_{n} \to ℓ$ .

Ces énoncés sont admis.

◆Théorème 9.10Théorème de la limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
Toute suite croissante et non majorée tend vers $+ \infty$ ; toute suite décroissante et non minorée tend vers $- \infty$ .

Ces énoncés sont admis. Attention : le premier point donne l'existence de la limite, il n'en donne pas la valeur.

Exemple 9.11Un modèle de parts de marché

Une enseigne détient une part de marché $u_{0} = 1 %$ . Chaque année elle conserve la moitié de sa part et gagne $2$ points : $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ .

Monotonie et majoration. On vérifie par récurrence que $u_{n} < 4$ : si $u_{n} < 4$ alors $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2 < 2 + 2 = 4$ . De plus $u_{n + 1} - u_{n} = 2 - 0, 5 u_{n} > 0$ tant que $u_{n} < 4$ : la suite est croissante.

Conclusion. Croissante et majorée, elle converge. Sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ = 0, 5 ℓ + 2$ , donc $ℓ = 4$ . La part de marché tend vers $4 %$ sans jamais l'atteindre.

Contrôle. $u_{1} = 2, 5$ ; $u_{2} = 3, 25$ ; $u_{3} = 3, 625$ ; $u_{8} = 3, 98828125$ . Et l'on retrouve $u_{n} = 4 - 3 \times (0, 5)^{n}$ .

ImportantLe plan type d'une suite définie par récurrence

Devant $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , on suit toujours le même ordre :

Encadrer : montrer par récurrence que tous les termes restent dans un intervalle (souvent donné par l'énoncé).
Monter ou descendre : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ sur cet intervalle, pour conclure à la monotonie.
Conclure : monotone et bornée, donc convergente.
Identifier la limite $ℓ$ en résolvant $ℓ = f (ℓ)$ , et écarter les racines interdites par l'encadrement du point 1.

Le point 4 ne vient qu'après le point 3 : écrire $ℓ = f (ℓ)$ sans avoir établi la convergence, c'est calculer la limite d'une suite qui n'en a peut-être pas.

Python : Regarder une suite s'approcher de sa limite


u = 1.0
for n in range(1, 7):
    u = 0.5*u + 2
    print(n, u)
# 1 2.5 / 2 3.25 / 3 3.625 / 4 3.8125
# 5 3.90625 / 6 3.953125

L'écart à $4$ est divisé par deux à chaque tour : $1, 5$ , puis $0, 75$ , puis $0, 375$ … La machine suggère la limite ; c'est le théorème de la limite monotone qui la garantit.

9.5 Continuité sur un intervalle

◆Théorème 9.12Théorème des valeurs intermédiaires

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Autrement dit : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors l'équation $f (x) = k$ admet au moins une solution dans $[a, b]$ . Cet énoncé est admis.

↳Corollaire 9.13Cas strictement monotone, et bijection

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution dans $[a, b]$ : $f$ réalise une bijection de $[a, b]$ sur l'intervalle $[f (a), f (b)]$ (ou $[f (b), f (a)]$ si $f$ décroît).

En particulier, si $f (a) f (b) < 0$ , l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans $] a, b [$ . Le résultat s'étend aux autres intervalles, en considérant les limites au bord.

Exemple 9.14Un seuil de rentabilité

Le bénéfice d'un atelier, en milliers d'euros, est $f (x) = x^{3} - 3 x - 5$ pour $x$ tonnes produites, $x \in [2, 3]$ .

$f$ est continue, et $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 > 0$ sur $[2, 3]$ : elle est strictement croissante. Or $f (2) = 8 - 6 - 5 = - 3 < 0$ et $f (3) = 27 - 9 - 5 = 13 > 0$ .

D'après le corollaire, l'équation $f (x) = 0$ a une unique solution $α$ dans $] 2, 3 [$ : c'est le seuil de rentabilité. Il vaut $α \approx 2, 279$ tonnes.

9.6 La dichotomie

ImportantL'algorithme, en trois phrases

On part d'un intervalle $[a, b]$ sur lequel $f$ est continue et vérifie $f (a) f (b) < 0$ ; la solution $α$ est donc dedans.

On calcule le milieu $m = \frac{a + b}{2}$ .
Si $f (a)$ et $f (m)$ sont de signes contraires, $α$ est dans $[a, m]$ : on remplace $b$ par $m$ . Sinon $α$ est dans $[m, b]$ : on remplace $a$ par $m$ .
On recommence tant que $b - a$ dépasse la précision voulue.

À chaque tour la longueur de l'intervalle est divisée par deux : après $n$ tours elle vaut $\frac{b - a}{2 ^{n}}$ .

Python : La dichotomie, telle qu'on l'écrit


def f(x):
    return x**3 + x - 1

a, b = 0.0, 1.0
n = 0
while b - a > 0.001:
    m = (a + b)/2
    n = n + 1
    if f(a)*f(m) <= 0:
        b = m
    else:
        a = m
print(n, round(a, 4), round(b, 4))   # 10 0.6816 0.6826

Dix tours, et la solution est encadrée à $1 0^{- 3}$ près. Le test f(a)*f(m) <= 0 dit simplement que $f$ change de signe entre $a$ et $m$ : c'est la seule information dont l'algorithme a besoin.

AttentionCe que la dichotomie ne fait pas

Elle ne donne jamais la valeur exacte de $α$ , seulement un encadrement aussi fin qu'on veut. Elle exige aussi que le signe change entre les deux bornes : si $f (a)$ et $f (b)$ ont le même signe, l'algorithme démarre quand même et rend n'importe quoi. Le contrôle $f (a) f (b) < 0$ se fait avant la boucle, pas après.

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