Compléments sur les suites et la continuité

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Diagramme en toile d'une suite récurrente qui converge vers le point fixe, intersection de la courbe et de la droite y = x.

Le premier semestre a donné les suites usuelles et leur terme général. Ce chapitre pose la question qui compte en gestion : où va une suite quand $n$ grandit — vers un chiffre d'affaires d'équilibre, vers zéro, vers l'infini ? Puis il rend le même service aux fonctions, avec un théorème qui garantit qu'une équation a une solution, et un algorithme qui va la chercher.

AttentionLe registre de ce chapitre

Le programme est catégorique : « Toute étude théorique sur les limites (suites ou fonctions) est exclue. On utilise autant que possible des représentations graphiques pour présenter et illustrer les concepts introduits. Les résultats seront énoncés sans démonstration. »

Aucun résultat de ce chapitre ne sera donc démontré, et ce n'est pas une paresse : c'est la consigne. En revanche, chacun sera lu sur un graphique et mis à l'épreuve sur des nombres. Le programme ajoute que « le théorème de composition de limite d'une suite convergente par une fonction continue est hors-programme », et que « toute étude théorique sur les fonctions réciproques est exclue ».

9.1 Suites majorées, minorées, monotones

Définition 9.1Majorée, minorée, bornée

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

Elle est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ .
Elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_{n} \geq m$ pour tout $n$ .
Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Un majorant n'est jamais unique : si $M$ convient, $M + 1$ aussi.

Définition 9.2Monotone

$(u_{n})$ est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , et décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ pour tout $n$ . Elle est monotone si elle est de l'un des deux types.

En pratique on étudie le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ; si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .

iRemarqueMajorant, maximum, limite : trois mots à ne pas confondre

Un majorant est un plafond, atteint ou non ; il y en a une infinité. Un maximum est un majorant qui est un terme de la suite. Une limite est la valeur dont les termes se rapprochent indéfiniment.

Sur la figure ci-dessus, $2$ est un majorant et la limite, mais ce n'est pas un maximum : aucun terme ne vaut $2$ . Et $1$ est à la fois un minorant et le minimum, puisque $u_{0} = 1$ .

Exemple 9.3Étudier la monotonie sur une différence

Pour $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1}$ , écrivons $u_{n} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ . Alors

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{( n + 2 ) - ( n + 1 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0.$

La suite est strictement croissante. Elle est minorée par $u_{0} = 1$ et majorée par $2$ , car $\frac{1}{n + 1} > 0$ entraîne $u_{n} < 2$ .

9.2 Limite d'une suite

Définition 9.4Suite convergente

Le programme définit la convergence ainsi : « $(u_{n})_{n \in N}$ converge vers $ℓ \in R$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient les $u_{n}$ pour tous les indices $n$ sauf pour un nombre fini d'entre eux. »

On note alors $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ . Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Définition 9.5Limite infinie

$(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $] A, + \infty [$ contient les $u_{n}$ à partir d'un certain rang ; on note $lim u_{n} = + \infty$ . On définit de même $- \infty$ .

Une telle suite est divergente : elle n'a pas de limite finie.

Exercices du chapitre

Monotonie et bornes corrigé
Une part de marché corrigé
Une suite définie par une racine corrigé
Un parc d'abonnés qui se stabilise corrigé
Trois limites à lever corrigé
Un encadrement corrigé

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