Fonctions logarithme et exponentielle

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 10 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les courbes de l'exponentielle et du logarithme népérien, symétriques par rapport à la droite y = x.

Un capital placé à $4 %$ met combien d'années à doubler ? Un chiffre d'affaires qui triple en cinq ans progresse de combien par an ? Ces deux questions ont la même forme : l'inconnue est en exposant. Les deux fonctions de ce chapitre servent exactement à l'en faire descendre.

Le logarithme transforme les produits en sommes ; l'exponentielle fait le chemin inverse. C'est le dernier couple de fonctions usuelles du programme, et de loin le plus utilisé en économie.

AttentionLe registre de ce chapitre

Le programme fixe les deux points de départ, et ils ne sont pas négociables : « La fonction logarithme est introduite comme primitive de la fonction inverse sur $R_{+}^{*}$ », et « la fonction exponentielle est introduite comme réciproque de la fonction logarithme ».

Il ajoute que « les fonctions hyperboliques sont hors programme », et rappelle pour tout le second semestre que « toute étude théorique sur les fonctions réciproques est exclue » et que « les résultats seront énoncés sans démonstration ». On lira donc les propriétés sur les courbes et on les vérifiera sur des nombres.

10.1 La fonction logarithme népérien

Définition 10.1Logarithme népérien

La fonction $t \mapsto \frac{1}{t}$ est continue sur $] 0, + \infty [$ : elle y admet des primitives. On appelle logarithme népérien, et l'on note $ln$ , celle de ces primitives qui s'annule en $1$ .

Autrement dit, $ln$ est définie sur $] 0, + \infty [$ , et

$ln (1) = 0, ln^{'} (x) = \frac{1}{x} pour tout x > 0.$

Proposition 10.2Variations et limites

$ln^{'} (x) = \frac{1}{x} > 0$ sur $] 0, + \infty [$ : la fonction $ln$ est strictement croissante. Elle est de plus concave, puisque sa dérivée décroît. Enfin

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty, x \to + \infty lim ln x = + \infty.$

L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe. Ces résultats sont admis.

◆Théorème 10.3Propriétés algébriques

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout entier $n$ :

$ln (ab) = ln a + ln b, ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b, ln (a^{n}) = n ln a,$

et $ln (a) = \frac{1}{2} ln a$ . Ces résultats sont admis.

Python : Vérifier la propriété fondamentale


from math import log

for x in [1, 2, 3, 6, 10]:
    print(x, round(log(x), 6))
print(round(log(2) + log(3), 6), round(log(6), 6))
# 1 0.0 / 2 0.693147 / 3 1.098612
# 6 1.791759 / 10 2.302585
# 1.791759 1.791759

La dernière ligne affiche deux fois le même nombre : $ln 2 + ln 3 = ln 6$ . On retrouve aussi $ln 10 \approx 2, 303$ , le facteur de conversion entre le logarithme népérien et le logarithme décimal des calculatrices.

iRemarqueD'où viennent le nom et la lettre

« Népérien » vient de John Napier, qui publia en 1614 les premières tables de logarithmes — pour transformer, précisément, les multiplications d'astronomie en additions. Le nombre $e \approx 2, 718281828$ est irrationnel ; la lettre lui a été donnée par Euler au XVIII^e siècle. Ce n'est pas une constante choisie au hasard : c'est le seul nombre dont le logarithme vaut $1$ , donc le seul pour lequel l'aire de la première figure fait exactement une unité.

Exercices du chapitre

Simplifier sans calculatrice corrigé
Une équation avec deux logarithmes corrigé
Une équation du second degré déguisée corrigé
Deux inéquations corrigé
Une fonction avec un logarithme corrigé
Un maximum en e corrigé

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