Fonctions logarithme et exponentielle

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 10 · prépa ECT, 1re année

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Un capital placé à $4 %$ met combien d'années à doubler ? Un chiffre d'affaires qui triple en cinq ans progresse de combien par an ? Ces deux questions ont la même forme : l'inconnue est en exposant. Les deux fonctions de ce chapitre servent exactement à l'en faire descendre.

Le logarithme transforme les produits en sommes ; l'exponentielle fait le chemin inverse. C'est le dernier couple de fonctions usuelles du programme, et de loin le plus utilisé en économie.

AttentionLe registre de ce chapitre

Le programme fixe les deux points de départ, et ils ne sont pas négociables : « La fonction logarithme est introduite comme primitive de la fonction inverse sur $R_{+}^{*}$ », et « la fonction exponentielle est introduite comme réciproque de la fonction logarithme ».

Il ajoute que « les fonctions hyperboliques sont hors programme », et rappelle pour tout le second semestre que « toute étude théorique sur les fonctions réciproques est exclue » et que « les résultats seront énoncés sans démonstration ». On lira donc les propriétés sur les courbes et on les vérifiera sur des nombres.

10.1 La fonction logarithme népérien

Définition 10.1Logarithme népérien

La fonction $t \mapsto \frac{1}{t}$ est continue sur $] 0, + \infty [$ : elle y admet des primitives. On appelle logarithme népérien, et l'on note $ln$ , celle de ces primitives qui s'annule en $1$ .

Autrement dit, $ln$ est définie sur $] 0, + \infty [$ , et

$ln (1) = 0, ln^{'} (x) = \frac{1}{x} pour tout x > 0.$

Proposition 10.2Variations et limites

$ln^{'} (x) = \frac{1}{x} > 0$ sur $] 0, + \infty [$ : la fonction $ln$ est strictement croissante. Elle est de plus concave, puisque sa dérivée décroît. Enfin

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty, x \to + \infty lim ln x = + \infty.$

L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe. Ces résultats sont admis.

◆Théorème 10.3Propriétés algébriques

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout entier $n$ :

$ln (ab) = ln a + ln b, ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b, ln (a^{n}) = n ln a,$

et $ln (a) = \frac{1}{2} ln a$ . Ces résultats sont admis.

Python : Vérifier la propriété fondamentale


from math import log

for x in [1, 2, 3, 6, 10]:
    print(x, round(log(x), 6))
print(round(log(2) + log(3), 6), round(log(6), 6))
# 1 0.0 / 2 0.693147 / 3 1.098612
# 6 1.791759 / 10 2.302585
# 1.791759 1.791759

La dernière ligne affiche deux fois le même nombre : $ln 2 + ln 3 = ln 6$ . On retrouve aussi $ln 10 \approx 2, 303$ , le facteur de conversion entre le logarithme népérien et le logarithme décimal des calculatrices.

iRemarqueD'où viennent le nom et la lettre

« Népérien » vient de John Napier, qui publia en 1614 les premières tables de logarithmes — pour transformer, précisément, les multiplications d'astronomie en additions. Le nombre $e \approx 2, 718281828$ est irrationnel ; la lettre lui a été donnée par Euler au XVIII^e siècle. Ce n'est pas une constante choisie au hasard : c'est le seul nombre dont le logarithme vaut $1$ , donc le seul pour lequel l'aire de la première figure fait exactement une unité.

AttentionLe domaine avant le calcul

$ln x$ n'existe que pour $x > 0$ . Avant de résoudre une équation contenant $ln (u (x))$ , on écrit d'abord la condition $u (x) > 0$ ; les solutions trouvées ensuite doivent être confrontées à cette condition.

Autre piège : $ln (a + b)$ ne vaut pas $ln a + ln b$ . Le logarithme transforme les produits en sommes, jamais les sommes en autre chose.

10.2 La fonction exponentielle

Définition 10.4Exponentielle

$ln$ est continue et strictement croissante de $] 0, + \infty [$ sur $R$ : elle y réalise une bijection. Sa réciproque est appelée exponentielle et notée $exp$ , ou $x \mapsto e^{x}$ .

Elle est donc définie sur $R$ , à valeurs dans $] 0, + \infty [$ , et

$e^{l n x} = x pour x > 0, ln (e^{y}) = y pour tout r e ˊ el y .$

En particulier $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e \approx 2, 71828$ .

Proposition 10.5Dérivée, variations, limites

La fonction $exp$ est dérivable sur $R$ et égale à sa propre dérivée : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ . Elle est donc strictement croissante, et strictement positive. Enfin

$x \to - \infty lim e^{x} = 0, x \to + \infty lim e^{x} = + \infty.$

L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $- \infty$ . Résultats admis.

◆Théorème 10.6Propriétés algébriques de l'exponentielle

Pour tous réels $a$ et $b$ , et tout entier $n$ :

$e^{a + b} = e^{a} e^{b}, e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}, e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}, (e^{a})^{n} = e^{na} .$

Ce sont les propriétés du logarithme, lues à l'envers.

ImportantPasser d'une écriture à l'autre

Les deux fonctions étant réciproques l'une de l'autre, résoudre une équation revient toujours à appliquer la bonne :

$e^{x} = k (k > 0) ⟺ x = ln k, ln x = k ⟺ x = e^{k} .$

Et comme les deux sont strictement croissantes, elles conservent les inégalités : $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ , et $ln a < ln b ⟺ a < b$ (pour $a$ et $b$ strictement positifs).

Proposition 10.7Dériver une composée

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}, et si de plus u > 0 sur I : (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u} .$

Ainsi $(e^{- 2 x})^{'} = - 2 e^{- 2 x}$ , et $(ln (3 x + 1))^{'} = \frac{3}{3 x + 1}$ sur $] - \frac{1}{3}, + \infty [$ .

Exemple 10.8Une inéquation exponentielle

Résolvons $3 e^{- 0, 2 x} \leq 1$ , qui décrit par exemple une quantité en décroissance continue passant sous un seuil.

En divisant par $3$ : $e^{- 0, 2 x} \leq \frac{1}{3}$ . La fonction $ln$ étant strictement croissante, elle conserve l'inégalité : $- 0, 2 x \leq ln \frac{1}{3} = - ln 3$ .

En divisant par $- 0, 2$ , qui est négatif, l'inégalité change de sens : $x \geq 5 ln 3 \approx 5, 493$ .

Contrôle. Pour $x = 5 ln 3$ : $3 e^{- l n 3} = 3 \times \frac{1}{3} = 1$ . L'égalité est atteinte exactement au seuil.

AttentionTrois erreurs qui coûtent cher

$ln (a + b)$ n'est pas $ln a + ln b$ ; seul le produit se transforme en somme.
$e^{a} + e^{b}$ n'est pas $e^{a + b}$ ; c'est le produit $e^{a} e^{b}$ qui vaut $e^{a + b}$ .
$(e^{x})^{2} = e^{2 x}$ , et non $e^{x^{2}}$ : avec $x = 3$ , le premier vaut $e^{6} \approx 403$ et le second $e^{9} \approx 8103$ .

Dans les trois cas, un contre-exemple numérique suffit à trancher — et c'est le seul réflexe qui protège en temps limité.

10.3 Fonctions puissances

Définition 10.9Puissance d'exposant réel

Pour $x > 0$ et $α$ réel quelconque, on pose

$x^{α} = e^{α l n x} .$

Cette définition prolonge les puissances entières : pour $α = n$ entier, $e^{n l n x} = (e^{l n x})^{n} = x^{n}$ . Elle donne aussi $x^{1/2} = e^{\frac{1}{2} l n x} = x$ .

Proposition 10.10Règles de calcul

Pour $x > 0$ , $y > 0$ et $α$ , $β$ réels :

$x^{α} x^{β} = x^{α + β}, (x^{α})^{β} = x^{α β}, (x y)^{α} = x^{α} y^{α}, ln (x^{α}) = α ln x .$

La dérivée de $x \mapsto x^{α}$ est $x \mapsto α x^{α - 1}$ .

10.4 Croissances comparées

◆Théorème 10.11Croissances comparées

Pour tout réel $α > 0$ :

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{α}} = + \infty, x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{α}} = 0, x \to + \infty lim \frac{x ^{α}}{ln x} = + \infty,$

et au voisinage de $0$ : $x \to 0^{+} lim x^{α} ln x = 0$ . Enfin, pour tout entier naturel $n$ non nul, $x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0$ . Ces résultats sont admis.

Python : Mesurer l'écart plutôt que le croire


from math import exp, log

for x in [5, 10, 20]:
    print(x, round(exp(x)/x**3, 2), round(log(x)/x, 4))
# 5 1.19 0.3219
# 10 22.03 0.2303
# 20 60645.65 0.1498

La deuxième colonne, $e^{x} / x^{3}$ , part de $1, 19$ et atteint $60646$ : elle tend bien vers $+ \infty$ , même si le décollage est tardif. La troisième, $ln x / x$ , descend lentement vers $0$ : là aussi la limite est claire, la vitesse ne l'est pas.

AttentionUne limite lente reste une limite

$\frac{e ^{x}}{x ^{3}}$ vaut encore $1, 19$ en $x = 5$ : sur les premières valeurs, rien ne suggère $+ \infty$ . C'est le théorème qui décide, pas le tableau de valeurs. Inversement, un tableau qui semble se stabiliser ne prouve aucune convergence : $ln x$ passe de $2, 3$ à $4, 6$ quand $x$ passe de $10$ à $100$ , et il continuera sans fin.

10.5 Trois usages en économie

ImportantTemps de doublement

Un capital $C_{0}$ placé au taux annuel $t$ vaut $C_{n} = C_{0} (1 + t)^{n}$ au bout de $n$ années. Il a doublé lorsque $(1 + t)^{n} \geq 2$ , c'est-à-dire, en prenant le logarithme des deux membres :

$n ln (1 + t) \geq ln 2, soit n \geq \frac{ln 2}{ln ( 1 + t )} .$

Le logarithme a fait descendre l'inconnue de l'exposant : c'est son emploi le plus fréquent.

Exemple 10.12Doubler à quatre pour cent

Pour $t = 4 %$ : $\frac{ln 2}{ln ( 1 , 04 )} = \frac{0 , 693147}{0 , 039221} \approx 17, 67$ . Comme $n$ est entier, il faut $18$ années.

Contrôle. $1, 0 4^{17} \approx 1, 9479 < 2$ et $1, 0 4^{18} \approx 2, 0258 \geq 2$ .

La règle des $70$ , connue des financiers, en découle : $ln 2 \approx 0, 70$ et $ln (1 + t) \approx t$ pour $t$ petit, donc le temps de doublement vaut à peu près $\frac{70}{100 t}$ . Ici $70/4 = 17, 5$ , très proche de $17, 67$ .

Python : Le temps de doublement, et sa vérification


from math import log

n = log(2)/log(1.04)
print(round(n, 3))
print(round(1.04**17, 4), round(1.04**18, 4))
# 17.673
# 1.9479 2.0258

La première ligne donne le seuil réel, la seconde l'encadre par deux entiers. Le calcul et le contrôle tiennent en quatre lignes ; l'un sans l'autre ne vaut rien.

ImportantTaux moyen sur plusieurs périodes

Si une grandeur est multipliée par $k$ en $n$ périodes, le taux moyen $t$ vérifie $(1 + t)^{n} = k$ , donc

$1 + t = k^{1/ n} = e^{\frac{l n k}{n}} .$

On n'ajoute jamais les taux pour les moyenner : un an à $+ 50 %$ suivi d'un an à $- 50 %$ ne redonne pas la valeur de départ, mais $75 %$ de celle-ci.

Exemple 10.13Lire une pente comme un taux

Un chiffre d'affaires passe de $2$ à $6$ millions d'euros en cinq ans. Le taux annuel moyen vérifie $(1 + t)^{5} = 3$ , donc

$1 + t = e^{\frac{l n 3}{5}} = e^{0, 2197} \approx 1, 2457, t \approx 24, 57 %.$

Contrôle. $2 \times 1, 245 7^{5} \approx 6, 00$ .

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