Coefficients binomiaux et lois usuelles finies

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 · prépa ECT, 1re année

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Le chapitre 7 a défini ce qu'est une variable aléatoire finie, son espérance et sa variance, mais ne disait rien de quelles lois on rencontre en pratique. Ce chapitre-ci répond : quatre lois suffisent à modéliser l'immense majorité des situations concrètes, et il faut savoir les reconnaître. Une seule d'entre elles demande un outil de calcul nouveau, la loi binomiale : les coefficients binomiaux, un tableau de nombres entiers qu'on sait construire de tête et dont on n'aura jamais besoin en dehors des probabilités.

AttentionCe chapitre ne compte pas pour compter

Le programme est net : « La notion de cardinal est introduite pour son application au calcul des probabilités (uniquement dans le cas de l'équiprobabilité). Tout exercice de dénombrement pur est exclu. »

Les coefficients binomiaux sont donc introduits ici pour une raison : écrire la loi binomiale. Le programme ajoute d'ailleurs, à leur sujet : « On donne dans ce paragraphe l'interprétation combinatoire de ces coefficients mais on évitera toute technicité dans les exercices. »

11.1 Factorielle et coefficients binomiaux

Définition 11.1Factorielle

Pour un entier $n \geq 1$ , la factorielle de $n$ est le produit $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ . Par convention, $0! = 1$ .

Exemple 11.2Les premières factorielles

$1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ , $5! = 120$ , $6! = 720$ , $10! = 3628800$ . La croissance est foudroyante : on ne calcule donc jamais une factorielle « en entier » quand elle apparaît dans un quotient, on simplifie d'abord.

iRemarqueCe que

n!

compte

$n!$ est le nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts : pour ranger trois dossiers $A$ , $B$ , $C$ , il y a $3$ choix pour la première place, puis $2$ , puis $1$ , soit $3! = 6$ rangements.

Définition 11.3Coefficient binomial

Soient deux entiers $n$ et $k$ avec $0 \leq k \leq n$ . Le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ » est le nombre

$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .$

C'est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.

Exemple 11.4Un calcul mené proprement

Calculons $(2 7)$ : on écrit la définition, puis on simplifie avant de multiplier.

$(2 7) = \frac{7 !}{2 ! 5 !} = \frac{7 \times 6 \times 5 !}{2 \times 1 \times 5 !} = \frac{7 \times 6}{2} = 21.$

Le facteur $5!$ se simplifie, et c'est toujours ainsi qu'il faut procéder : écrire $7! = 5040$ puis diviser serait plus long et plus risqué.

Proposition 11.5Valeurs remarquables et symétrie

Pour tous entiers $0 \leq k \leq n$ :

$(0 n) = (n n) = 1, (1 n) = (n - 1 n) = n, (k n) = (n - k n) .$

Démonstration

Pour la symétrie, il suffit de lire la définition en échangeant les deux facteurs du dénominateur : $(n - k n) = \frac{n !}{( n - k )! ( n - ( n - k ))!} = \frac{n !}{( n - k )! k !} = (k n)$ . Les valeurs remarquables s'obtiennent de même : $(0 n) = \frac{n !}{0 ! n !} = 1$ puisque $0! = 1$ , et $(1 n) = \frac{n !}{1 ! ( n - 1 )!} = n$ .

ImportantLa symétrie fait gagner du temps

Pour calculer $(7 9)$ , on ne calcule pas sept facteurs : on écrit $(7 9) = (2 9) = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ . Règle de conduite : ramener toujours $k$ à la plus petite des deux valeurs $k$ et $n - k$ .

◆Théorème 11.6Formule de Pascal

Pour tous entiers $1 \leq k \leq n$ :

$(k n + 1) = (k - 1 n) + (k n) .$

Démonstration

On réduit les deux termes de droite au même dénominateur $k! (n - k + 1)!$ :

$(k - 1 n) + (k n) = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k + 1 )!} + \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{n ! k}{k ! ( n - k + 1 )!} + \frac{n ! ( n - k + 1 )}{k ! ( n - k + 1 )!} .$

La somme des deux numérateurs vaut $n! (k + n - k + 1) = n! (n + 1) = (n + 1)!$ , d'où le résultat.

La formule de Pascal ne fait intervenir que des additions : c'est pour cela qu'elle est l'algorithme de calcul des coefficients binomiaux. Partant de la ligne $[1]$ , chaque ligne s'obtient de la précédente par des sommes de deux termes voisins, en encadrant par des $1$ — et aucune division n'est faite.

Python : Le triangle, ligne par ligne


def ligne_suivante(L):
    M = [1]
    for k in range(1, len(L)):
        M.append(L[k - 1] + L[k])
    M.append(1)
    return M

L = [1]
for n in range(6):
    print(L)
    L = ligne_suivante(L)
# [1]
# [1, 1]
# [1, 2, 1]
# [1, 3, 3, 1]
# [1, 4, 6, 4, 1]
# [1, 5, 10, 10, 5, 1]

Seule la formule de Pascal est employée : c'est la manière dont une machine calcule réellement ces coefficients quand $n$ devient grand.

Python : Ou directement par la définition


from math import factorial

def binomial(n, k):
    return factorial(n)//(factorial(k)*factorial(n - k))

print(binomial(5, 2), binomial(10, 3), binomial(7, 7))
# 10 120 1
print(binomial(9, 4) == binomial(9, 5))
# True

La dernière ligne affiche True : c'est la symétrie $(4 9) = (5 9)$ , vérifiée sur un cas. La division est écrite // (et non /) parce que le résultat est un entier.

11.1.1 Ce que les coefficients binomiaux comptent

ImportantLe lien avec les chemins d'un arbre

Répétons $n$ fois une même épreuve à deux issues, le succès $S$ et l'échec $E$ . Un résultat de l'expérience est une suite de $n$ lettres, donc un chemin de l'arbre, et $(k n)$ est le nombre de chemins comportant exactement $k$ succès. C'est cette lecture, et elle seule, qui servira pour la loi binomiale.

11.2 La formule du binôme de Newton

◆Théorème 11.7Formule du binôme de Newton

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n \geq 1$ :

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} .$

Démonstration

Par récurrence sur $n$ . Pour $n = 1$ , le membre de droite vaut $(0 1) b + (1 1) a = a + b$ . Supposons la formule vraie au rang $n$ ; alors $(a + b)^{n + 1} = a (a + b)^{n} + b (a + b)^{n}$ , soit

$k = 0 \sum n (k n) a^{k + 1} b^{n - k} + k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k + 1} .$

Dans la première somme on remplace $k + 1$ par $k$ ; le coefficient de $a^{k} b^{n + 1 - k}$ devient alors $(k - 1 n) + (k n)$ , qui vaut $(k n + 1)$ par la formule de Pascal. C'est la formule au rang $n + 1$ .

Exemple 11.8Développer une puissance quatrième

La ligne $n = 4$ du triangle est $1, 4, 6, 4, 1$ , donc $(a + b)^{4} = b^{4} + 4 a b^{3} + 6 a^{2} b^{2} + 4 a^{3} b + a^{4}$ . Avec $a = 2 x$ et $b = 3$ :

$(2 x + 3)^{4} = 81 + 4 (2 x) 27 + 6 (2 x)^{2} \times 9 + 4 (2 x)^{3} \times 3 + (2 x)^{4},$

c'est-à-dire $16 x^{4} + 96 x^{3} + 216 x^{2} + 216 x + 81$ .

↳Corollaire 11.9Deux sommes qu'on lit sur le triangle

Pour tout entier $n \geq 1$ :

$k = 0 \sum n (k n) = 2^{n} et k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n) = 0.$

Démonstration

On applique la formule du binôme avec $a = b = 1$ pour la première égalité, puis avec $a = - 1$ et $b = 1$ pour la seconde : $(1 - 1)^{n} = 0$ .

Exemple 11.10Vérification sur la ligne 6

La ligne $6$ est $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . Sa somme vaut $1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2^{6}$ , et la somme alternée $1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1$ vaut $0$ .

11.3 Les quatre lois usuelles finies

ImportantCe qu'on demande de vous sur chaque loi

Le programme le dit ainsi : « Chacune de ces lois sera illustrée par un exemple concret d'une situation qu'elle modélise. Les étudiants doivent savoir reconnaître ces lois à partir de situations concrètes. » Pour chaque loi, il faut donc savoir : la situation qu'elle modélise, sa loi (les valeurs et leurs probabilités), son espérance et sa variance.

11.3.1 Loi certaine

Définition 11.11Loi certaine

$X$ suit la loi certaine de valeur $c$ lorsque $X$ ne prend que la valeur $c$ , avec $P (X = c) = 1$ .

Proposition 11.12Espérance et variance

Si $X$ suit la loi certaine de valeur $c$ , alors $E (X) = c$ et $V (X) = 0$ .

Démonstration

$E (X) = c \times P (X = c) = c$ . Puis $E (X^{2}) = c^{2}$ , donc par la formule de Kœnig-Huygens $V (X) = c^{2} - c^{2} = 0$ .

Une variance mesure la dispersion autour de la moyenne : elle est nulle exactement lorsqu'il n'y a rien à disperser. Rencontrer $V (X) = 0$ dans un exercice, c'est donc avoir démontré que $X$ est constante.

11.3.2 Loi uniforme

Définition 11.13Loi uniforme sur les entiers de 1 à n

$X$ suit la loi uniforme sur $[[1, n]]$ , ce qu'on note $X ↪ U ([[1, n]])$ , lorsque

$X (Ω) = {1, 2, \dots, n} et P (X = k) = \frac{1}{n} pour tout k \in [[1, n]] .$

◆Théorème 11.14Espérance et variance de la loi uniforme

Si $X ↪ U ([[1, n]])$ , alors

$E (X) = \frac{n + 1}{2} et V (X) = \frac{n ^{2} - 1}{12} .$

Démonstration

$E (X) = \sum_{k = 1}^{n} k \times \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \times \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2}$ , en réutilisant la somme des premiers entiers du chapitre 3. Le calcul de la variance suit le même schéma à partir de $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ ; il est admis ici.

Exemple 11.15Un tirage au sort dans un fichier clients

Une entreprise tire au sort un client parmi les $20$ de son fichier, numérotés de $1$ à $20$ , pour lui offrir un bon d'achat. Le numéro tiré $X$ suit $U ([[1, 20]])$ , donc $E (X) = \frac{21}{2} = 10, 5$ et $V (X) = \frac{400 - 1}{12} = \frac{399}{12} = 33, 25$ . L'écart type vaut $33, 25 \approx 5, 77$ .

11.3.3 Loi de Bernoulli

Définition 11.16Loi de Bernoulli

$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0, 1]$ , ce qu'on note $X ↪ B (p)$ , lorsque

$X (Ω) = {0, 1}, P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 - p .$

On appelle succès l'événement $(X = 1)$ et échec l'événement $(X = 0)$ .

◆Théorème 11.17Espérance et variance de la loi de Bernoulli

Si $X ↪ B (p)$ , alors

$E (X) = p et V (X) = p (1 - p) .$

Démonstration

$E (X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ . Comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ , on a $X^{2} = X$ , donc $E (X^{2}) = p$ et $V (X) = p - p^{2} = p (1 - p)$ par Kœnig-Huygens.

Exemple 11.18Une pièce prélevée en contrôle qualité

Sur une chaîne de production, $3 %$ des pièces sont défectueuses. On en prélève une au hasard et l'on pose $X = 1$ si elle est défectueuse, $X = 0$ sinon. Alors $X ↪ B (0, 03)$ , donc $E (X) = 0, 03$ et $V (X) = 0, 03 \times 0, 97 = 0, 0291$ . L'espérance se lit ainsi : sur un grand nombre de prélèvements, on compte en moyenne $3$ défectueuses pour $100$ .

11.3.4 Loi binomiale

Définition 11.19Schéma de Bernoulli et loi binomiale

On répète $n$ fois, de façon indépendante et dans les mêmes conditions, une épreuve dont la probabilité de succès est $p$ . Soit $X$ le nombre total de succès. On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , et l'on note $X ↪ B (n, p)$ .

◆Théorème 11.20Loi binomiale

Si $X ↪ B (n, p)$ , alors $X (Ω) = [[0, n]]$ et, pour tout $k \in [[0, n]]$ :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .$

Démonstration

Un chemin de l'arbre comportant exactement $k$ succès a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , puisque les épreuves sont indépendantes et que le produit ne dépend pas de l'ordre des lettres. Il y a $(k n)$ tels chemins, et ils forment des événements deux à deux incompatibles : on additionne leurs probabilités, toutes égales.

La formule du binôme donne $\sum_{k = 0}^{n} (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = (p + (1 - p))^{n} = 1$ : on retrouve, comme il se doit, que les probabilités d'une loi somment à $1$ — et c'est le binôme de Newton qui le garantit.

◆Théorème 11.21Espérance et variance de la loi binomiale

Si $X ↪ B (n, p)$ , alors $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$ .

ImportantComment retenir ces deux formules

Une loi binomiale est la somme de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ . L'espérance d'une somme est la somme des espérances : $n$ fois $p$ . Et pour des variables indépendantes, la variance d'une somme est la somme des variances : $n$ fois $p (1 - p)$ . Enfin $B (1, p)$ est exactement la loi de Bernoulli, et les formules coïncident bien pour $n = 1$ .

Exemple 11.22Un lot de dix pièces

Reprenons la chaîne où $3 %$ des pièces sont défectueuses. On prélève un lot de $10$ pièces et l'on note $X$ le nombre de défectueuses ; les prélèvements étant indépendants et de même probabilité, $X ↪ B (10; 0, 03)$ et $E (X) = 0, 3$ pièce par lot.

Aucune défectueuse : $P (X = 0) = 0, 9 7^{10} \approx 0, 737$ . Au moins une : c'est l'événement contraire, de probabilité $1 - 0, 737 \approx 0, 263$ . Plus d'un lot sur quatre en contient une, alors que le taux de défaut n'est que de $3 %$ .

AttentionTrois conditions, et il faut les trois

Pour affirmer qu'une variable suit une loi binomiale, il faut vérifier que les épreuves sont identiques (même probabilité de succès $p$ ), qu'elles sont indépendantes, et que $X$ compte le nombre de succès et rien d'autre. Le piège le plus courant est un tirage sans remise dans une petite population : les épreuves ne sont alors ni identiques ni indépendantes, et la loi n'est pas binomiale.

Python : Simuler une loi binomiale à partir de rd.random


import numpy.random as rd

def epreuve(p):
    if rd.random() < p:
        return 1
    return 0

def binomiale(n, p):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + epreuve(p)
    return s

# rd.seed fixe le generateur : on retrouve les memes tirages
# a chaque execution (fonction non exigible, documentee ici)
rd.seed(1)
essais = [binomiale(10, 0.3) for i in range(10000)]
print(sum(essais)/10000)         # 3.033
print(essais.count(3)/10000)     # 0.2686

La moyenne des $10000$ essais vaut $3, 033$ , à comparer à $E (X) = 3$ ; et la fréquence de la valeur $3$ vaut $0, 2686$ , à comparer à $P (X = 3) \approx 0, 2668$ . Une simulation ne démontre rien : elle rend crédible, et permet surtout de repérer une erreur de modélisation.

Pourquoi cette simulation est-elle fidèle ? rd.random() rend un nombre au hasard entre $0$ et $1$ , chaque sous-intervalle ayant une probabilité égale à sa longueur. La condition rd.random() < p est donc vraie avec probabilité exactement $p$ : c'est une épreuve de Bernoulli. En les additionnant $n$ fois on obtient une binomiale, par construction et non par approximation.

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