Coefficients binomiaux et lois usuelles finies

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres 10 et 0,5.

Le chapitre 7 a défini ce qu'est une variable aléatoire finie, son espérance et sa variance, mais ne disait rien de quelles lois on rencontre en pratique. Ce chapitre-ci répond : quatre lois suffisent à modéliser l'immense majorité des situations concrètes, et il faut savoir les reconnaître. Une seule d'entre elles demande un outil de calcul nouveau, la loi binomiale : les coefficients binomiaux, un tableau de nombres entiers qu'on sait construire de tête et dont on n'aura jamais besoin en dehors des probabilités.

AttentionCe chapitre ne compte pas pour compter

Le programme est net : « La notion de cardinal est introduite pour son application au calcul des probabilités (uniquement dans le cas de l'équiprobabilité). Tout exercice de dénombrement pur est exclu. »

Les coefficients binomiaux sont donc introduits ici pour une raison : écrire la loi binomiale. Le programme ajoute d'ailleurs, à leur sujet : « On donne dans ce paragraphe l'interprétation combinatoire de ces coefficients mais on évitera toute technicité dans les exercices. »

11.1 Factorielle et coefficients binomiaux

Définition 11.1Factorielle

Pour un entier $n \geq 1$ , la factorielle de $n$ est le produit $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ . Par convention, $0! = 1$ .

Exemple 11.2Les premières factorielles

$1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ , $5! = 120$ , $6! = 720$ , $10! = 3628800$ . La croissance est foudroyante : on ne calcule donc jamais une factorielle « en entier » quand elle apparaît dans un quotient, on simplifie d'abord.

iRemarqueCe que

n!

compte

$n!$ est le nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts : pour ranger trois dossiers $A$ , $B$ , $C$ , il y a $3$ choix pour la première place, puis $2$ , puis $1$ , soit $3! = 6$ rangements.

Définition 11.3Coefficient binomial

Soient deux entiers $n$ et $k$ avec $0 \leq k \leq n$ . Le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ » est le nombre

$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .$

C'est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.

Exemple 11.4Un calcul mené proprement

Calculons $(2 7)$ : on écrit la définition, puis on simplifie avant de multiplier.

$(2 7) = \frac{7 !}{2 ! 5 !} = \frac{7 \times 6 \times 5 !}{2 \times 1 \times 5 !} = \frac{7 \times 6}{2} = 21.$

Le facteur $5!$ se simplifie, et c'est toujours ainsi qu'il faut procéder : écrire $7! = 5040$ puis diviser serait plus long et plus risqué.

Proposition 11.5Valeurs remarquables et symétrie

Pour tous entiers $0 \leq k \leq n$ :

$(0 n) = (n n) = 1, (1 n) = (n - 1 n) = n, (k n) = (n - k n) .$

Démonstration

Pour la symétrie, il suffit de lire la définition en échangeant les deux facteurs du dénominateur : $(n - k n) = \frac{n !}{( n - k )! ( n - ( n - k ))!} = \frac{n !}{( n - k )! k !} = (k n)$ . Les valeurs remarquables s'obtiennent de même : $(0 n) = \frac{n !}{0 ! n !} = 1$ puisque $0! = 1$ , et $(1 n) = \frac{n !}{1 ! ( n - 1 )!} = n$ .

ImportantLa symétrie fait gagner du temps

Pour calculer $(7 9)$ , on ne calcule pas sept facteurs : on écrit $(7 9) = (2 9) = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ . Règle de conduite : ramener toujours $k$ à la plus petite des deux valeurs $k$ et $n - k$ .

◆Théorème 11.6Formule de Pascal

Pour tous entiers $1 \leq k \leq n$ :

$(k n + 1) = (k - 1 n) + (k n) .$

Démonstration

On réduit les deux termes de droite au même dénominateur $k! (n - k + 1)!$ :

$(k - 1 n) + (k n) = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k + 1 )!} + \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{n ! k}{k ! ( n - k + 1 )!} + \frac{n ! ( n - k + 1 )}{k ! ( n - k + 1 )!} .$

La somme des deux numérateurs vaut $n! (k + n - k + 1) = n! (n + 1) = (n + 1)!$ , d'où le résultat.

La formule de Pascal ne fait intervenir que des additions : c'est pour cela qu'elle est l'algorithme de calcul des coefficients binomiaux. Partant de la ligne $[1]$ , chaque ligne s'obtient de la précédente par des sommes de deux termes voisins, en encadrant par des $1$ — et aucune division n'est faite.

Python : Le triangle, ligne par ligne


def ligne_suivante(L):
    M = [1]
    for k in range(1, len(L)):
        M.append(L[k - 1] + L[k])
    M.append(1)
    return M

L = [1]
for n in range(6):
    print(L)
    L = ligne_suivante(L)
# [1]
# [1, 1]
# [1, 2, 1]
# [1, 3, 3, 1]
# [1, 4, 6, 4, 1]
# [1, 5, 10, 10, 5, 1]

Seule la formule de Pascal est employée : c'est la manière dont une machine calcule réellement ces coefficients quand $n$ devient grand.

Exercices du chapitre

Calculs de coefficients binomiaux corrigé
Construire le triangle de Pascal corrigé
La formule de Pascal, vérifiée puis démontrée corrigé
Combien de délégations ? corrigé
Développer avec le binôme corrigé
Deux sommes de coefficients corrigé

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