Intégration sur un segment

Cours · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 · prépa ECT, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous une courbe, approchée par une somme de rectangles.

Dériver, c'est mesurer une vitesse de variation ; intégrer, c'est faire le chemin inverse et accumuler. Ce chapitre installe cette opération et lui donne sa lecture géométrique : l'aire sous une courbe. Un coût marginal donne ainsi un coût total, un débit de ventes donne un chiffre d'affaires cumulé.

AttentionCe que le programme demande, et pas davantage

Le programme est très bref sur ce chapitre, et deux phrases en fixent le niveau : « Pour le calcul d'intégrales à partir des primitives, on se limitera à des exemples simples » et « Les changements de variable sont hors programme ».

Il n'y aura donc ici aucune technique d'intégration : on cherche une primitive en lisant à l'envers un tableau de dérivées, et rien d'autre.

12.1 L'aire sous une courbe

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle, et $a < b$ deux points de cet intervalle. La région du plan comprise entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'abscisses $a$ et $b$ possède une aire, que l'on note

$\int_{a}^{b} f (t) d t .$

Le symbole $\int$ est un $S$ allongé, pour « somme » : on additionne une infinité de tranches verticales infiniment fines. La lettre $t$ ne sert qu'à décrire le parcours ; on peut l'appeler $x$ , $u$ ou n'importe comment.

ImportantLe cas d'une fonction affine, à la main

Quand $f$ est affine et positive, l'aire se calcule sans aucune théorie : c'est celle d'un trapèze. Notons $A (x)$ l'aire sous la courbe entre $0$ et $x$ . Si l'on augmente $x$ d'une petite quantité $h$ , l'aire gagnée est celle d'une bande mince, comprise entre deux rectangles de largeur $h$ :

$f (x) h \leq A (x + h) - A (x) \leq f (x + h) h .$

En divisant par $h$ puis en faisant tendre $h$ vers $0$ , les deux bornes tendent vers $f (x)$ : donc $A^{'} (x) = f (x)$ .

12.2 Primitives

Définition 12.1Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que

$F^{'} (x) = f (x) pour tout x \in I .$

◆Théorème 12.2Existence, admis

Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ y admet au moins une primitive.

◆Théorème 12.3Toutes les primitives, à une constante près

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $F + c$ , où $c$ est une constante réelle.

Démonstration

Si $G = F + c$ , alors $G^{'} = F^{'} = f$ : $G$ est bien une primitive. Réciproquement, si $G$ est une primitive de $f$ , la fonction $G - F$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $I$ , donc elle y est constante (chapitre 5). Ainsi $G = F + c$ .

AttentionL'intervalle n'est pas un détail

« Dérivée nulle donc constante » est vrai sur un intervalle, pas sur une réunion d'intervalles. Sur $R^{*}$ , la fonction valant $1$ sur $] 0, + \infty [$ et $2$ sur $] - \infty, 0 [$ a une dérivée nulle sans être constante. C'est pourquoi on précise toujours l'intervalle de travail, en particulier pour $\frac{1}{x}$ .

ImportantLes primitives à connaître

Chaque ligne se lit à l'envers d'un tableau de dérivées. La constante $c$ est sous-entendue partout.

$f (x)$	une primitive $F (x)$	valable sur
$k$ (constante)	$k x$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$ln x$	$] 0, + \infty [$
$\frac{1}{x ^{2}}$	$- \frac{1}{x}$	$] 0, + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$
$e^{a x}$ ( $a \neq = 0$ )	$\frac{1}{a} e^{a x}$	$R$

On y ajoute la linéarité : une primitive de $λ f + μg$ est $λ F + μ G$ .

Exercices du chapitre

Vérifier une primitive corrigé
Primitives usuelles corrigé
Une primitive et l'intégrale qui en découle corrigé
Trois intégrales corrigé
Une aire vérifiée par la géométrie corrigé
L'aire entre deux courbes corrigé

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