Intégration sur un segment

Cours complet · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 · prépa ECT, 1re année

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Dériver, c'est mesurer une vitesse de variation ; intégrer, c'est faire le chemin inverse et accumuler. Ce chapitre installe cette opération et lui donne sa lecture géométrique : l'aire sous une courbe. Un coût marginal donne ainsi un coût total, un débit de ventes donne un chiffre d'affaires cumulé.

AttentionCe que le programme demande, et pas davantage

Le programme est très bref sur ce chapitre, et deux phrases en fixent le niveau : « Pour le calcul d'intégrales à partir des primitives, on se limitera à des exemples simples » et « Les changements de variable sont hors programme ».

Il n'y aura donc ici aucune technique d'intégration : on cherche une primitive en lisant à l'envers un tableau de dérivées, et rien d'autre.

12.1 L'aire sous une courbe

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle, et $a < b$ deux points de cet intervalle. La région du plan comprise entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'abscisses $a$ et $b$ possède une aire, que l'on note

$\int_{a}^{b} f (t) d t .$

Le symbole $\int$ est un $S$ allongé, pour « somme » : on additionne une infinité de tranches verticales infiniment fines. La lettre $t$ ne sert qu'à décrire le parcours ; on peut l'appeler $x$ , $u$ ou n'importe comment.

ImportantLe cas d'une fonction affine, à la main

Quand $f$ est affine et positive, l'aire se calcule sans aucune théorie : c'est celle d'un trapèze. Notons $A (x)$ l'aire sous la courbe entre $0$ et $x$ . Si l'on augmente $x$ d'une petite quantité $h$ , l'aire gagnée est celle d'une bande mince, comprise entre deux rectangles de largeur $h$ :

$f (x) h \leq A (x + h) - A (x) \leq f (x + h) h .$

En divisant par $h$ puis en faisant tendre $h$ vers $0$ , les deux bornes tendent vers $f (x)$ : donc $A^{'} (x) = f (x)$ .

12.2 Primitives

Définition 12.1Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que

$F^{'} (x) = f (x) pour tout x \in I .$

◆Théorème 12.2Existence, admis

Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ y admet au moins une primitive.

◆Théorème 12.3Toutes les primitives, à une constante près

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $F + c$ , où $c$ est une constante réelle.

Démonstration

Si $G = F + c$ , alors $G^{'} = F^{'} = f$ : $G$ est bien une primitive. Réciproquement, si $G$ est une primitive de $f$ , la fonction $G - F$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $I$ , donc elle y est constante (chapitre 5). Ainsi $G = F + c$ .

AttentionL'intervalle n'est pas un détail

« Dérivée nulle donc constante » est vrai sur un intervalle, pas sur une réunion d'intervalles. Sur $R^{*}$ , la fonction valant $1$ sur $] 0, + \infty [$ et $2$ sur $] - \infty, 0 [$ a une dérivée nulle sans être constante. C'est pourquoi on précise toujours l'intervalle de travail, en particulier pour $\frac{1}{x}$ .

ImportantLes primitives à connaître

Chaque ligne se lit à l'envers d'un tableau de dérivées. La constante $c$ est sous-entendue partout.

$f (x)$	une primitive $F (x)$	valable sur
$k$ (constante)	$k x$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$ln x$	$] 0, + \infty [$
$\frac{1}{x ^{2}}$	$- \frac{1}{x}$	$] 0, + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$
$e^{a x}$ ( $a \neq = 0$ )	$\frac{1}{a} e^{a x}$	$R$

On y ajoute la linéarité : une primitive de $λ f + μg$ est $λ F + μ G$ .

Exemple 12.4Trois primitives, et leur vérification

Une primitive de $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 5$ est $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ : on dérive pour contrôler, et l'on retrouve bien $3 x^{2} - 4 x + 5$ .

Une primitive de $g (x) = e^{2 x}$ est $G (x) = \frac{1}{2} e^{2 x}$ : en dérivant, $G^{'} (x) = \frac{1}{2} \times 2 e^{2 x} = e^{2 x}$ .

Une primitive de $h (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ sur $] 0, + \infty [$ est $H (x) = - \frac{1}{x}$ , puisque $H^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ .

iRemarqueLe contrôle est gratuit, faites-le

Une primitive se vérifie toujours en dérivant. C'est cinq secondes de calcul, et c'est la seule opération du chapitre qui ne peut pas se tromper : si $F^{'} = f$ , la réponse est juste, quelle que soit la manière dont on l'a trouvée.

12.3 L'intégrale d'une fonction continue

Définition 12.5Intégrale sur un segment

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ deux points de $I$ . On pose

$\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a),$

où $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $I$ . On note souvent $[F (t)]_{a}^{b}$ pour $F (b) - F (a)$ .

Proposition 12.6La définition ne dépend pas de la primitive choisie

Le nombre $F (b) - F (a)$ est le même pour toutes les primitives $F$ de $f$ sur $I$ .

Démonstration

Deux primitives diffèrent d'une constante : si $G = F + c$ , alors $G (b) - G (a) = (F (b) + c) - (F (a) + c) = F (b) - F (a)$ . La constante disparaît dans la soustraction.

iRemarqueLa variable d'intégration est muette

Dans $\int_{a}^{b} f (t) d t$ , la lettre $t$ n'existe qu'entre le $\int$ et le $d t$ : elle disparaît du résultat, qui ne dépend que de $f$ , de $a$ et de $b$ . Écrire $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ou $\int_{a}^{b} f (u) d u$ donne donc le même nombre. En revanche, réutiliser $x$ pour une borne et pour la variable — comme dans $\int_{0}^{x} f (x) d x$ — est une faute d'écriture : la même lettre y désignerait deux choses à la fois. On écrit $\int_{0}^{x} f (t) d t$ .

ImportantDeux définitions qui n'en font qu'une

Pour une fonction positive, l'intégrale définie ci-dessus est l'aire sous la courbe : c'est ce que la section précédente rendait plausible en montrant que la fonction « aire » a pour dérivée $f$ . Le programme admet ce lien, et l'on s'en sert dans les deux sens :

on calcule une aire par une primitive ;
on contrôle un calcul de primitive en regardant si l'aire trouvée est plausible sur le dessin.

Exemple 12.7Trois calculs menés jusqu'au bout

$\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x = [x^{2} + x]_{1}^{3} = (9 + 3) - (1 + 1) = 10.$

$\int_{0}^{2} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{2} = e^{2} - 1 \approx 6, 389.$

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e} = ln e - ln 1 = 1.$

AttentionUne intégrale n'est pas toujours une aire

Si $f$ prend des valeurs négatives, $\int_{a}^{b} f$ n'est plus une aire : les portions situées sous l'axe comptent négativement. L'aire géométrique de la région, elle, est toujours positive — ce sont deux nombres différents, et l'énoncé doit dire lequel il demande.

12.4 Premières propriétés

Proposition 12.8Linéarité

Pour $f$ et $g$ continues sur $I$ , $a, b \in I$ et $λ, μ$ réels :

$\int_{a}^{b} (λ f (t) + μg (t)) d t = λ \int_{a}^{b} f (t) d t + μ \int_{a}^{b} g (t) d t .$

◆Théorème 12.9Relation de Chasles

Pour $f$ continue sur $I$ et $a$ , $b$ , $c$ trois points de $I$ :

$\int_{a}^{c} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{c} f (t) d t .$

Démonstration

Avec une primitive $F$ de $f$ sur $I$ :

$\int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f = (F (b) - F (a)) + (F (c) - F (b)) = F (c) - F (a) = \int_{a}^{c} f .$

Le terme $F (b)$ apparaît deux fois, avec des signes opposés.

iRemarqueChasles ne réclame pas que

b

soit entre

a

c

La démonstration ci-dessus n'utilise à aucun moment un ordre entre $a$ , $b$ et $c$ : la relation vaut pour trois points quelconques de l'intervalle. En particulier $\int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f$ , et $\int_{a}^{a} f = 0$ .

Proposition 12.10Positivité et croissance

Soient $f$ et $g$ continues sur $I$ et $a \leq b$ dans $I$ .

Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \geq 0$ .
Si $f \leq g$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \int_{a}^{b} g (t) d t$ .

Définition 12.11Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ (avec $a < b$ ) est le nombre

$m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t .$

Exemple 12.12Une valeur moyenne qui s'interprète

Le nombre de commandes reçues par heure dans un entrepôt, entre $0$ et $6$ heures après l'ouverture, est modélisé par $f (t) = 0, 3 t^{2} - 1, 8 t + 4$ (en centaines). Alors

$\int_{0}^{6} f (t) d t = [0, 1 t^{3} - 0, 9 t^{2} + 4 t]_{0}^{6} = 21, 6 - 32, 4 + 24 = 13, 2,$

soit $1320$ commandes sur les six heures, et une moyenne de $13, 2/6 = 2, 2$ centaines de commandes par heure.

12.5 La méthode des rectangles

Toutes les fonctions n'ont pas une primitive que l'on sache écrire. On approche alors l'aire par des rectangles : on découpe $[a, b]$ en $n$ morceaux de largeur $h = \frac{b - a}{n}$ , et sur chacun on remplace la courbe par une horizontale.

ImportantLes deux sommes, et l'encadrement

En prenant sur chaque morceau la valeur de $f$ au bord gauche, puis au bord droit, on obtient deux nombres

$S_{g} = h k = 0 \sum n - 1 f (a + k h) et S_{d} = h k = 1 \sum n f (a + k h) .$

Si $f$ est monotone sur $[a, b]$ , l'intégrale est comprise entre les deux, et l'écart $S_{g} - S_{d}$ vaut $h (f (a) - f (b))$ : il tend vers $0$ quand $n$ grandit.

Python : La méthode des rectangles, en huit lignes


def f(x):
    return 4 - 0.3*x**2

def rectangles(a, b, n):
    h = (b - a)/n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + f(a + k*h)
    return s*h

for n in [6, 100, 10000]:
    print(n, rectangles(0, 3, n))
# 6 9.9375
# 100 9.340364999999997
# 10000 9.300404986499991

Avec six rectangles on retrouve exactement le $9, 9375$ de la figure. Avec dix mille, on lit $9, 3004$ : la valeur exacte est $9, 3$ , et l'erreur relative est passée de $6, 9 %$ à $0, 004 %$ .

12.6 Application : la loi uniforme sur un segment

Jusqu'ici, toutes les variables aléatoires du livre ne prenaient qu'un nombre fini de valeurs. Une durée d'attente, un délai de livraison, un prix ne sont pas de cette sorte : ils peuvent prendre toutes les valeurs d'un intervalle. L'intégrale permet d'en parler.

Définition 12.13Variable aléatoire à densité

Une variable aléatoire $X$ est dite à densité $f$ lorsque $f$ est continue et positive, d'intégrale totale égale à $1$ , et que pour tous $α \leq β$ :

$P (α \leq X \leq β) = \int_{α}^{β} f (t) d t .$

Une probabilité est alors une aire, et non plus une somme.

Définition 12.14Loi uniforme sur un segment

$X$ suit la loi uniforme sur $[a, b]$ lorsqu'elle admet pour densité la fonction valant $\frac{1}{b - a}$ sur $[a, b]$ et $0$ ailleurs.

Proposition 12.15Probabilité d'un sous-intervalle

Si $X$ suit la loi uniforme sur $[a, b]$ et si $a \leq α \leq β \leq b$ , alors

$P (α \leq X \leq β) = \frac{β - α}{b - a} .$

Démonstration

La densité est constante, donc $\int_{α}^{β} \frac{1}{b - a} d t = [\frac{t}{b - a}]_{α}^{β} = \frac{β - α}{b - a}$ . En particulier, sur $[a, b]$ tout entier on trouve $1$ : la densité est bien d'intégrale totale $1$ .

Exemple 12.16Une livraison annoncée « dans la matinée »

Un transporteur annonce une livraison entre $8$ h et $12$ h, sans autre précision : on modélise l'heure de passage $X$ par la loi uniforme sur $[8, 12]$ . La densité vaut $\frac{1}{4}$ , et

$P (X \leq 9) = \frac{9 - 8}{4} = 0, 25, P (10 \leq X \leq 11) = \frac{1}{4} = 0, 25.$

Les deux valent $0, 25$ : une heure d'attente en début de créneau et une heure en milieu de créneau ont la même probabilité. Un client qui attend depuis $10$ h n'est donc « pas plus près » de la livraison qu'au départ — conséquence directe de l'uniformité, et souvent contre-intuitive.

Python : Simuler une loi uniforme sur un segment


import numpy as np
import numpy.random as rd

def uniforme(a, b):
    return a + (b - a)*rd.random()

# rd.seed fixe le generateur : memes tirages a chaque
# execution (fonction non exigible, documentee ici)
rd.seed(2)
tirages = [uniforme(2, 6) for i in range(10000)]
n = 0
for x in tirages:
    if 3 <= x <= 5:
        n = n + 1
print(n/10000)          # 0.4958
print(np.mean(tirages)) # 3.97497449175339

rd.random() rend un nombre uniforme sur $[0, 1]$ ; le multiplier par $b - a$ et lui ajouter $a$ l'étale sur $[a, b]$ . La fréquence observée, $0, 4958$ , est à comparer à la probabilité exacte $0, 5$ , et la moyenne des tirages, $3, 975$ , au milieu du segment, $4$ .

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