Combien verser chaque année

Ce que vaut chaque versement à l'échéance. Le versement effectué au début de l'année de rang $k$ (avec $k$ allant de $1$ à $10$) reste placé pendant $11-k$ années, donc il vaut $V\times 1,04^{11-k}$ au bout des dix ans. Les valeurs acquises sont donc $$V\times 1,04^{10},V\times 1,04^9,\dots ,V\times 1,04^1.$$

La somme. C'est une somme géométrique de raison $1,04$, de premier terme $V\times 1,04$ et de $10$ termes. La formule du cours donne $$S=V\times 1,04\times \frac{1-1,04^{10}}{1-1,04}=V\times 1,04\times \frac{1,04^{10}-1}{0,04}.$$ Avec $1,04^{10}\approx 1,480244$ : $$S\approx V\times 1,04\times \frac{0,480244}{0,04}\approx V\times 1,04\times 12,0061\approx 12,4863V.$$

Le versement cherché. On impose $S=30000$, d'où $$V\approx \frac{30000}{12,4863}\approx 2403\text{ euros}.$$

Contrôle. Dix versements de $2403$ euros représentent $24030$ euros versés ; les intérêts apportent les $5970$ euros manquants, soit environ un quart du capital versé sur dix ans à $4\%$ — un ordre de grandeur plausible.

Le point délicat est le facteur $1,04$ en tête : il vient de ce que les versements sont faits en début d'année, donc rapportent des intérêts dès la première année. Des versements de fin d'année donneraient une somme divisée par $1,04$, et un versement nécessaire plus élevé.