Compter les termes d'une somme

1. Le nombre de termes. La règle générale : de $p$ à $n$, il y a $$n-p+1\text{ termes.}$$ Elle se vérifie sur le plus petit cas : de $7$ à $8$ il y a deux termes, et $8-7+1=2$.

${\sum }_{k=1}^n{u}_k$ compte donc $n-1+1=n$ termes.

${\sum }_{k=0}^n{u}_k$ compte $n-0+1=n+1$ termes — un de plus, celui de rang $0$.

${\sum }_{k=4}^{17}{u}_k$ compte $17-4+1=14$ termes.

2. Deux sommes de constantes. Le terme sommé ne dépend pas de $k$ : on additionne donc autant de fois le nombre $5$ qu'il y a de termes. $$\sum _{k=0}^{30}5=31\times 5=155,\sum _{k=1}^{30}5=30\times 5=150.$$

Pourquoi cette erreur coûte cher. Les deux sommes ne diffèrent que par une borne, et leurs résultats ne diffèrent que de $5$ : le résultat faux reste parfaitement plausible, et rien dans la suite du calcul ne le signale. C'est pourquoi on écrit le nombre de termes avant de calculer.