Découper une somme en deux

1. La justification. La somme ${\sum }_{k=0}^n{u}_k$ contient tous les termes de rang $0$ à $n$. Coupons cette liste en deux morceaux qui ne se recouvrent pas et qui la recouvrent entièrement : les rangs $0$ à $p-1$ d'une part, les rangs $p$ à $n$ d'autre part. Alors $$\sum _{k=0}^n{u}_k=\sum _{k=0}^{p-1}{u}_k+\sum _{k=p}^n{u}_k,$$ et l'égalité demandée s'obtient en retranchant ${\sum }_{k=0}^{p-1}{u}_k$ aux deux membres. C'est simplement l'associativité de l'addition, écrite avec le symbole somme.

2. L'application. Ici $u_k=2^k$, $p=5$ et $n=12$. La somme des puissances d'un même nombre donne, pour $q=2$ : $$\sum _{k=0}^n{2}^k=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1.$$ Donc $$\sum _{k=5}^{12}{2}^k=(2^{13}-1)-(2^5-1)=8192-32=8160.$$ Les deux « $-1$ » se sont annulés ; il fallait bien les écrire tous les deux pour s'en apercevoir.

Contrôle direct. La somme demandée est géométrique de premier terme $2^5=32$, de raison $2$ et de $12-5+1=8$ termes : $$32\times \frac{1-2^8}{1-2}=32\times 255=8160.$$ Même résultat par un autre chemin.

3. Le nombre de termes. De $p$ à $n$ il y a $n-p+1$ termes, donc ici $$31-7+1=25\text{ termes}.$$ Le « $+1$ » n'est pas facultatif : de $7$ à $8$ il y a deux termes, et $8-7=1$.