Des termes à calculer

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Calculer des termes

Énoncé

1. Soit $u_{n} = n^{2} - 6 n + 10$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{3}$ et $u_{10}$ . 2. Soit $(v_{n})$ définie par $v_{0} = 7$ et $v_{n + 1} = 2 v_{n} - 5$ . Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ . 3. Laquelle des deux définitions permet d'atteindre le terme de rang $100$ en un seul calcul ?

Corrigé

1. La suite explicite. Le terme $u_{n}$ s'écrit directement en fonction de $n$ : il suffit de remplacer. $u_{0} = 0 - 0 + 10 = 10,$ $u_{3} = 9 - 18 + 10 = 1,$ $u_{10} = 100 - 60 + 10 = 50.$

2. La suite définie par récurrence. On part du premier terme et l'on applique la relation, une fois par rang. $v_{1} = 2 \times 7 - 5 = 9,$ $v_{2} = 2 \times 9 - 5 = 13,$ $v_{3} = 2 \times 13 - 5 = 21.$ Chaque calcul a besoin du précédent : on ne peut pas sauter d'étape.

3. La première. Pour $(u_{n})$ , le rang $100$ s'obtient d'un seul calcul : $u_{100} = 10000 - 600 + 10 = 9410$ .

Pour $(v_{n})$ , il faudrait enchaîner les cent relations, une par rang. C'est toute la différence entre les deux modes de définition, et tout le travail du chapitre consiste, pour les modèles usuels, à passer de la seconde écriture à la première.

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