Deux offres d'abonnement comparées

1. Les deux termes généraux. L'offre $A$ ajoute chaque année le même montant : la suite $(a_n)$ est arithmétique de raison $30$, donc $$a_n=400+30n.$$ L'offre $B$ multiplie chaque année par le même coefficient $1+0,08=1,08$ : la suite $(b_n)$ est géométrique de raison $1,08$, donc $$b_n=340\times 1,08^n.$$

2. La dixième année, c'est-à-dire $n=9$ : $$a_9=400+270=670\text{ euros},$$ $$b_9=340\times 1,08^9\approx 340\times 1,99900\approx 680\text{ euros}.$$ L'offre $A$ est donc la moins chère cette année-là, de $10$ euros environ.

3. Le total sur dix ans, c'est-à-dire les rangs $0$ à $9$, soit $10$ termes.

Offre $A$, somme arithmétique : $$S_A=10\times \frac{a_0+a_9}{2}=10\times \frac{400+670}{2}=5350\text{ euros}.$$

Offre $B$, somme géométrique de raison $1,08$ : $$S_B=340\times \frac{1-1,08^{10}}{1-1,08}=340\times \frac{1,08^{10}-1}{0,08}.$$ Or $1,08^{10}\approx 2,15892$, donc $$S_B\approx 340\times \frac{1,15892}{0,08}\approx 340\times 14,4865\approx 4925\text{ euros}.$$

Conclusion, et le point délicat. Sur dix ans, l'offre $B$ coûte environ $425$ euros de moins, alors même qu'elle est plus chère la dixième année. Comparer les coûts d'une seule année ne suffit donc pas : $B$ part de beaucoup plus bas et n'a rattrapé $A$ que tardivement, si bien que le cumul lui reste favorable.