Deux sommes à calculer

La somme $A$. C'est la somme des $40$ premiers entiers, donnée par la formule du cours : $$A=\frac{40\times 41}{2}=820.$$

La somme $B$. On applique les deux seules règles autorisées : une constante sort, une somme se coupe en deux. $$B=6\sum _{k=1}^{25}k-\sum _{k=1}^{25}1.$$ La première vaut $\frac{25\times 26}{2}=325$. La seconde additionne $25$ fois le nombre $1$, donc vaut $25$ : de $1$ à $25$ il y a bien $25$ termes. D'où $$B=6\times 325-25=1950-25=1925.$$

Contrôle par l'autre formule. La suite $6k-1$ est arithmétique ; son premier terme est $5$, son dernier $149$, et il y a $25$ termes : $25\times \frac{5+149}{2}=25\times 77=1925$. Même résultat.

La somme $C$. C'est une somme de puissances d'un même nombre, avec $q=3\ne 1$ et $8$ termes (de $0$ à $7$) : $$C=\frac{1-3^8}{1-3}=\frac{1-6561}{-2}=\frac{-6560}{-2}=3280.$$

Contrôle : $1+3+9+27+81+243+729+2187=3280$.