Deux sommes mêlées dans une seule

1. L'expression de $S_n$. Les deux seules règles autorisées sont : une constante multiplicative sort de la somme, et une somme se coupe en deux. On les applique : $$S_n=3\sum _{k=0}^n{2}^k-4\sum _{k=0}^{n}k.$$

Première somme, géométrique de raison $2\ne 1$ et de $n+1$ termes : $$\sum _{k=0}^n{2}^k=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1.$$

Seconde somme. Le terme de rang $0$ est nul, donc ${\sum }_{k=0}^{n}k={\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

En rassemblant : $$S_n=3(2^{n+1}-1)-4\times \frac{n(n+1)}{2}=3\times 2^{n+1}-3-2n(n+1).$$

Le point délicat est le nombre de termes : de $0$ à $n$ il y en a $n+1$, et non $n$. C'est lui qui met l'exposant $n+1$ dans la formule géométrique.

2. La valeur $S_{10}$. $$S_{10}=3\times 2^{11}-3-2\times 10\times 11=3\times 2048-3-220=6144-223=5921.$$

3. Le contrôle sur $S_2$. La formule donne $$S_2=3\times 2^3-3-2\times 2\times 3=24-3-12=9.$$ Le calcul direct additionne les trois termes de rangs $0$, $1$, $2$ : $$(3\times 1-0)+(3\times 2-4)+(3\times 4-8)=3+2+4=9.$$ Les deux coïncident.