Du taux annuel au taux semestriel

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites géométriques et taux

Énoncé

Un capital placé progresse de $8, 16 %$ par an.

1. Déterminer le taux semestriel constant qui produit exactement la même progression annuelle. 2. Un capital de $15000$ euros est placé à ce taux. Quelle est sa valeur au bout de $5$ ans ? (arrondir à l'euro) 3. Le double du taux semestriel donne-t-il le taux annuel ?

Corrigé

1. Le taux semestriel. Notons $q$ le coefficient multiplicateur d'un semestre. Deux semestres se succèdent en un an, donc le capital est multiplié par $q$ deux fois : le coefficient annuel est $q^{2}$ . L'énoncé impose $q^{2} = 1 + 0, 0816 = 1, 0816.$ Le coefficient étant positif, $q = 1, 0816$ . Or $1, 0 4^{2} = 1, 0816$ , donc $q = 1, 04.$ Le taux semestriel est de $4 %$ .

2. Le capital au bout de cinq ans. Cinq années représentent $10$ semestres, donc le capital $(C_{k})$ mesuré de semestre en semestre est géométrique de raison $1, 04$ : $C_{10} = 15000 \times 1, 0 4^{10} .$ Or $1, 0 4^{10} \approx 1, 48024$ , donc $C_{10} \approx 22204$ euros.

Contrôle par l'autre chemin : en raisonnant en années, $15000 \times 1, 081 6^{5}$ , et $1, 081 6^{5} = (1, 0 4^{2})^{5} = 1, 0 4^{10}$ : c'est le même nombre, ce qui est rassurant.

3. Non. Le double de $4 %$ est $8 %$ , alors que le taux annuel est $8, 16 %$ . L'écart de $0, 16$ point est exactement le carré du taux semestriel : $(1 + t)^{2} = 1 + 2 t + t^{2}, ici t^{2} = 0, 0 4^{2} = 0, 0016.$ Ce terme est ce que rapportent, au second semestre, les intérêts du premier. Les taux ne s'additionnent pas : les coefficients se multiplient.

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