Prouver la nature d'une suite

La suite $(a_n)$. On calcule la différence de deux termes consécutifs : $$a_{n+1}-a_n=\frac{5(n+1)-2}{3}-\frac{5n-2}{3}=\frac{5n+5-2-5n+2}{3}=\frac{5}{3}.$$ Cette différence ne dépend pas de $n$ : $(a_n)$ est arithmétique de raison $\frac{5}{3}$, de premier terme $a_0=-\frac{2}{3}$.

La suite $(b_n)$. Tous ses termes sont non nuls, on peut donc former le quotient : $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{n+2}}{5}\times \frac{5}{2^{n+1}}=2^{n+2-(n+1)}=2.$$ Ce quotient est constant : $(b_n)$ est géométrique de raison $2$, de premier terme $b_0=\frac{2}{5}$.

La suite $(c_n)$. Elle n'est ni l'une ni l'autre, et trois termes suffisent à le prouver : $c_0=1$, $c_1=4$, $c_2=11$.

• Les différences valent $4-1=3$ puis $11-4=7$ : elles ne sont pas constantes, donc la suite n'est pas arithmétique.
• Les quotients valent $\frac{4}{1}=4$ puis $\frac{11}{4}=2,75$ : ils ne sont pas constants, donc elle n'est pas géométrique.

Le point à retenir. Pour prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique, il faut un calcul valable pour tout $n$ ; pour infirmer, un contre-exemple sur trois termes suffit. Les deux tâches ne demandent pas le même travail.