Prouver la nature d'une suite

La suite $(a_{n})$ . On calcule la différence de deux termes consécutifs : $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{5 ( n + 1 ) - 2}{3} - \frac{5 n - 2}{3} = \frac{5 n + 5 - 2 - 5 n + 2}{3} = \frac{5}{3} .$ Cette différence ne dépend pas de $n$ : $(a_{n})$ est arithmétique de raison $\frac{5}{3}$ , de premier terme $a_{0} = - \frac{2}{3}$ .

La suite $(b_{n})$ . Tous ses termes sont non nuls, on peut donc former le quotient : $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{2 ^{n + 2}}{5} \times \frac{5}{2 ^{n + 1}} = 2^{n + 2 - (n + 1)} = 2.$ Ce quotient est constant : $(b_{n})$ est géométrique de raison $2$ , de premier terme $b_{0} = \frac{2}{5}$ .

La suite $(c_{n})$ . Elle n'est ni l'une ni l'autre, et trois termes suffisent à le prouver : $c_{0} = 1$ , $c_{1} = 4$ , $c_{2} = 11$ .

Les différences valent $4 - 1 = 3$ puis $11 - 4 = 7$ : elles ne sont pas constantes, donc la suite n'est pas arithmétique.
Les quotients valent $\frac{4}{1} = 4$ puis $\frac{11}{4} = 2, 75$ : ils ne sont pas constants, donc elle n'est pas géométrique.

Le point à retenir. Pour prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique, il faut un calcul valable pour tout $n$ ; pour infirmer, un contre-exemple sur trois termes suffit. Les deux tâches ne demandent pas le même travail.

Énoncé

Corrigé

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