Quand le cumul atteint dix mille pièces

1. Le cumul. Notons $p_n=320+15n$ la production de la semaine de rang $n$ (la première étant de rang $0$) : la suite est arithmétique de raison $15$. Les $N$ premières semaines correspondent aux rangs $0$ à $N-1$, soit $N$ termes, dont le dernier est $$p_{N-1}=320+15(N-1)=305+15N.$$ La formule du cours donne $$S_N=N\times \frac{p_0+p_{N-1}}{2}=N\times \frac{320+305+15N}{2}=\frac{N(625+15N)}{2}.$$ On peut aussi l'écrire $S_N=7,5N^2+312,5N$.

Contrôle sur un petit cas : pour $N=2$, la formule donne $\frac{2\times 655}{2}=655$, et directement $320+335=655$.

2. Le seuil de dix mille pièces. On résout $S_N>10000$, soit $$7,5N^2+312,5N-10000>0.$$ En divisant par $7,5$, qui est positif — le sens est donc conservé : $$N^2+\frac{125}{3}N-\frac{4000}{3}>0.$$ Plutôt que de traîner ces fractions, multiplions l'inéquation de départ par $\frac{2}{5}$ : elle devient $3N^2+125N-4000>0$. Son discriminant vaut $$\Delta =125^2+4\times 3\times 4000=15625+48000=63625,$$ donc $\sqrt{\Delta }\approx 252,24$ et la racine positive vaut $$N=\frac{-125+252,24}{6}\approx 21,2.$$ Le coefficient dominant $3$ est positif, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines : la condition est $N\ge 22$.

Contrôle des deux côtés. $S_{21}=\frac{21\times 940}{2}=9870$, qui n'atteint pas $10000$ ; $S_{22}=\frac{22\times 955}{2}=10505$, qui le dépasse. Il faut donc $22$ semaines.