Rembourser un emprunt

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites arithmético-géométriques

Énoncé

On emprunte $20000$ euros au taux annuel de $4 %$ et l'on rembourse $6000$ euros par an. On note $D_{n}$ le capital restant dû après $n$ années.

Écrire la relation de récurrence et calculer $D_{1}$ , $D_{2}$ .
Donner $D_{n}$ en fonction de $n$ .
Reste-t-il moins de $3000$ euros après trois ans ? Calculer la quatrième annuité, qui solde l'emprunt.

Corrigé

1. $D_{0} = 20000$ et $D_{n + 1} = 1, 04 D_{n} - 6000$ . Alors $D_{1} = 20800 - 6000 = 14800$ et $D_{2} = 15392 - 6000 = 9392$ .

2. Point fixe : $x = 1, 04 x - 6000$ donne $0, 04 x = 6000$ et $x = 150000$ . En posant $v_{n} = D_{n} - 150000$ , on obtient une suite géométrique de raison $1, 04$ avec $v_{0} = - 130000$ , donc

$D_{n} = 150000 - 130000 \times 1, 0 4^{n} .$

Contrôle : $D_{1} = 150000 - 135200 = 14800$ , conforme.

3. $D_{3} = 1, 04 \times 9392 - 6000 = 9767, 68 - 6000 = 3767, 68$ euros : non, il reste plus de $3000$ euros. Une estimation à vue d'{œ}il aurait pu faire répondre l'inverse ; c'est le calcul qui tranche.

La quatrième annuité doit couvrir le capital restant et ses intérêts : $1, 04 \times 3767, 68 = 3918, 39$ euros. Elle solde l'emprunt, et le coût total du crédit est $3 \times 6000 + 3918, 39 - 20000 = 1918, 39$ euros.

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