mathématiques (ECT 1re année) · Chapitre 3 · Exercice

Rembourser un emprunt

Suites réelles · Suites arithmético-géométriques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On emprunte $20000$ euros au taux annuel de $4 %$ et l'on rembourse $6000$ euros par an. On note $D_{n}$ le capital restant dû après $n$ années.

Écrire la relation de récurrence et calculer $D_{1}$ , $D_{2}$ .
Donner $D_{n}$ en fonction de $n$ .
Reste-t-il moins de $3000$ euros après trois ans ? Calculer la quatrième annuité, qui solde l'emprunt.

Corrigé de la question 1

1. $D_{0} = 20000$ et $D_{n + 1} = 1, 04 D_{n} - 6000$ . Alors $D_{1} = 20800 - 6000 = 14800$ et $D_{2} = 15392 - 6000 = 9392$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Donner $D_{n}$ en fonction de $n$ .

Élève

La suite n'est ni arithmétique ni géométrique. J'ai essayé $D_{n} = 20000 \times 1, 0 4^{n} - 6000 n$ : ça redonne bien $D_{1}$ , mais pas $D_{2}$ .

Ta formule fait comme si chaque remboursement n'avait aucun effet sur les intérêts suivants, alors que les $6000$ euros remboursés la première année ne produisent plus d'intérêts ensuite. Pour une suite vérifiant $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , quelle méthode du cours permet de se ramener à une suite géométrique ?

Élève

On cherche un réel $ℓ$ tel que $ℓ = 1, 04 ℓ - 6000$ , puis on pose $v_{n} = D_{n} - ℓ$ . Mais je ne vois pas pourquoi $(v_{n})$ serait géométrique.

Écris $v_{n + 1} = D_{n + 1} - ℓ$ , remplace $D_{n + 1}$ par la relation de récurrence, puis $ℓ$ par $1, 04 ℓ - 6000$ : que reste-t-il, et que vaut alors $v_{0}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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