Retrouver la raison à partir de deux termes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Raison et terme général

Énoncé

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique. On sait que $u_{5} = 23$ et $u_{12} = 58$ .

1. Déterminer la raison, puis $u_{0}$ . 2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . 3. À partir de quel rang a-t-on $u_{n} > 100$ ?

Corrigé

1. La raison et le premier terme. Le cours donne, pour deux rangs quelconques $n$ et $p$ d'une suite arithmétique de raison $r$ : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ . Appliqué à $n = 12$ et $p = 5$ : $58 = 23 + (12 - 5) r soit 7 r = 35, r = 5.$ On revient ensuite à $u_{0}$ avec la même formule, entre les rangs $5$ et $0$ : $u_{5} = u_{0} + 5 r donne 23 = u_{0} + 25, u_{0} = - 2.$

2. Le terme général. $u_{n} = u_{0} + n r$ , donc $u_{n} = - 2 + 5 n .$ Contrôle sur les deux données : $u_{5} = - 2 + 25 = 23$ et $u_{12} = - 2 + 60 = 58$ . Les deux valeurs de l'énoncé sont retrouvées.

3. Le seuil. On résout $- 2 + 5 n > 100 ⟺ 5 n > 102 ⟺ n > 20, 4.$ La division est faite par $5$ , qui est positif : le sens de l'inégalité est conservé. Comme $n$ est un entier, la condition s'écrit $n \geq 21$ .

Contrôle des deux côtés du seuil : $u_{20} = - 2 + 100 = 98$ , qui ne dépasse pas $100$ , et $u_{21} = - 2 + 105 = 103$ , qui le dépasse. Le rang cherché est bien $21$ , et pas $20$ .

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