Trois sommes, trois formules

La somme $S$. On sépare par linéarité, puis on applique les deux formules du cours : $$S=2\sum _{k=0}^9{3}^k+\sum _{k=0}^{9}5.$$ La première est une somme de puissances : ${\sum }_{k=0}^9{3}^k=\frac{3^{10}-1}{3-1}=\frac{59049-1}{2}=29524$. La seconde compte $10$ termes égaux à $5$, soit $50$. Donc $$S=2\times 29524+50=59098.$$

La somme $T$. Ses termes forment une suite arithmétique de raison $2$. Le nombre de termes est $20-5+1=16$ (et non $15$). Le premier vaut $2\times 5+1=11$, le dernier $2\times 20+1=41$. La somme d'une suite arithmétique vaut le nombre de termes fois la demi-somme des extrêmes : $$T=16\times \frac{11+41}{2}=16\times 26=416.$$

La somme $U_n$. On sépare encore : $$U_n=\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^n{2}^k=\frac{n(n+1)}{2}+\left(2^{n+1}-2\right).$$ La seconde somme démarre à $k=1$ et non à $k=0$ : on retire donc le terme $2^0=1$ à $\frac{2^{n+1}-1}{2-1}=2^{n+1}-1$.

Contrôle. Pour $n=3$ : la formule donne $6+(16-2)=20$, et le calcul direct $(1+2)+(2+4)+(3+8)=20$.

Le point à retenir. Deux erreurs coûtent tout le calcul : compter les termes (c'est $\text{dernier}-\text{premier}+1$, jamais la différence des indices) et oublier que les formules du cours démarrent à un indice précis.