Un amortissement constant

Suites réelles · Suites arithmétiques · niveau 1 (application)

Énoncé

Une machine achetée $28000$ euros perd $3500$ euros de valeur comptable chaque année. On note $V_{n}$ sa valeur après $n$ années.

1. Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ . 2. Quelle est sa valeur au bout de $5$ ans ? 3. Au bout de combien d'années sa valeur comptable est-elle nulle ?

Corrigé

1. Le terme général. La valeur perd chaque année le même montant : la suite $(V_{n})$ est arithmétique de raison $r = - 3500$ , avec $V_{0} = 28000$ . Donc $V_{n} = 28000 - 3500 n .$

2. Au bout de cinq ans. $V_{5} = 28000 - 3500 \times 5 = 28000 - 17500 = 10500 euros .$

3. L'année où la valeur s'annule. On résout $V_{n} = 0$ : $28000 - 3500 n = 0 ⟺ n = \frac{28 000}{3 500} = 8.$ La valeur comptable est nulle au bout de $8$ ans. C'est la durée d'amortissement de la machine.

Contrôle : $V_{7} = 28000 - 24500 = 3500$ euros, et une dernière annuité de $3500$ euros ramène bien à zéro.

Une remarque de gestion. Ce modèle, dit linéaire, répartit la perte de valeur en parts égales sur toute la durée. Il se reconnaît à une différence constante, donc à une suite arithmétique — à ne pas confondre avec une perte d'un pourcentage fixe, qui donnerait une suite géométrique et une valeur qui ne s'annule jamais.

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