Un amortissement linéaire

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites arithmétiques

Énoncé

Une machine se déprécie du même montant chaque année. Sa valeur comptable vaut $17600$ euros au bout de $3$ ans et $13200$ euros au bout de $7$ ans. On note $V_{n}$ sa valeur après $n$ années.

1. Déterminer la raison, puis $V_{0}$ .

2. Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Au bout de combien d'années la valeur passe-t-elle sous $5000$ euros ?

Corrigé

Une dépréciation d'un montant fixe chaque année est une suite arithmétique : $V_{n + 1} = V_{n} + r$ , avec $r$ négatif ici.

1. Entre la troisième et la septième année, il s'écoule $4$ pas, donc $V_{7} = V_{3} + 4 r$ : $13200 = 17600 + 4 r ⟹ r = \frac{13 200 - 17 600}{4} = - 1 100.$ La machine perd $1100$ euros par an. On remonte ensuite à l'origine : $V_{0} = V_{3} - 3 r = 17600 + 3 \times 1100 = 20900 euros .$

2. Le terme général d'une suite arithmétique est $V_{n} = V_{0} + n r$ , donc $V_{n} = 20900 - 1100 n .$ Contrôle. $V_{3} = 20900 - 3300 = 17600$ et $V_{7} = 20900 - 7700 = 13200$ : les deux données sont retrouvées.

3. On résout l'inéquation $20900 - 1100 n < 5000 ⟺ 15900 < 1100 n ⟺ n > \frac{15 900}{1 100} \approx 14, 45.$ Comme $n$ est entier, la condition est atteinte pour $n = 15$ : c'est au bout de $15$ ans que la valeur comptable passe sous $5000$ euros ( $V_{14} = 5500$ et $V_{15} = 4400$ ).

Le point à retenir. On n'est pas obligé de revenir à $V_{0}$ pour trouver la raison : la formule $V_{p} = V_{q} + (p - q) r$ relie directement deux termes quelconques, et c'est elle qui sert quand l'énoncé donne deux valeurs « au milieu ».

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