Un amortissement linéaire

Une dépréciation d'un montant fixe chaque année est une suite arithmétique : $V_{n+1}=V_n+r$, avec $r$ négatif ici.

1. Entre la troisième et la septième année, il s'écoule $4$ pas, donc $V_7=V_3+4r$ : $$13200=17600+4r⟹r=\frac{13200-17600}{4}=-1100.$$ La machine perd $1100$ euros par an. On remonte ensuite à l'origine : $$V_0=V_3-3r=17600+3\times 1100=20900\text{ euros}.$$

2. Le terme général d'une suite arithmétique est $V_n=V_0+nr$, donc $$V_n=20900-1100n.$$ Contrôle. $V_3=20900-3300=17600$ et $V_7=20900-7700=13200$ : les deux données sont retrouvées.

3. On résout l'inéquation $$20900-1100n<5000⟺15900<1100n⟺n>\frac{15900}{1100}\approx 14,45.$$ Comme $n$ est entier, la condition est atteinte pour $n=15$ : c'est au bout de $15$ ans que la valeur comptable passe sous $5000$ euros ($V_{14}=5500$ et $V_{15}=4400$).

Le point à retenir. On n'est pas obligé de revenir à $V_0$ pour trouver la raison : la formule $V_p=V_q+(p-q)r$ relie directement deux termes quelconques, et c'est elle qui sert quand l'énoncé donne deux valeurs « au milieu ».