Un capital placé à intérêts composés

1. Le terme général. Gagner $4\%$, c'est multiplier par $1+0,04=1,04$. On a donc $C_{n+1}=1,04C_n$ : la suite est géométrique de raison $1,04$, de premier terme $C_0=6000$, d'où $$C_n=6000\times 1,04^n.$$

2. Deux valeurs. Avec $1,04^5\approx 1,21665$ : $$C_5\approx 6000\times 1,21665\approx 7300\text{ euros}.$$ Avec $1,04^{15}\approx 1,80094$ : $$C_{15}\approx 6000\times 1,80094\approx 10806\text{ euros}.$$

3. Non, pas tout à fait. Doubler signifierait atteindre $12000$ euros, c'est-à-dire $1,04^n\ge 2$. Or $1,04^{15}\approx 1,80$ : le capital a été multiplié par $1,80$, il a donc progressé de $80\%$ et non de $100\%$.

Un ordre de grandeur utile. $1,04^{18}\approx 2,03$ : à $4\%$, un capital met environ $18$ ans à doubler. On retient souvent qu'un placement double en à peu près $\frac{72}{4}=18$ années — une règle approchée que le calcul confirme ici.