Un capital placé à intérêts composés

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites géométriques et pourcentages

Énoncé

On place $6000$ euros à $4 %$ par an, intérêts composés.

1. Donner le capital $C_{n}$ après $n$ années. 2. Calculer $C_{5}$ et $C_{15}$ (arrondis à l'euro). 3. Le capital a-t-il doublé au bout de $15$ ans ?

Corrigé

1. Le terme général. Gagner $4 %$ , c'est multiplier par $1 + 0, 04 = 1, 04$ . On a donc $C_{n + 1} = 1, 04 C_{n}$ : la suite est géométrique de raison $1, 04$ , de premier terme $C_{0} = 6000$ , d'où $C_{n} = 6000 \times 1, 0 4^{n} .$

2. Deux valeurs. Avec $1, 0 4^{5} \approx 1, 21665$ : $C_{5} \approx 6000 \times 1, 21665 \approx 7300 euros .$ Avec $1, 0 4^{15} \approx 1, 80094$ : $C_{15} \approx 6000 \times 1, 80094 \approx 10806 euros .$

3. Non, pas tout à fait. Doubler signifierait atteindre $12000$ euros, c'est-à-dire $1, 0 4^{n} \geq 2$ . Or $1, 0 4^{15} \approx 1, 80$ : le capital a été multiplié par $1, 80$ , il a donc progressé de $80 %$ et non de $100 %$ .

Un ordre de grandeur utile. $1, 0 4^{18} \approx 2, 03$ : à $4 %$ , un capital met environ $18$ ans à doubler. On retient souvent qu'un placement double en à peu près $\frac{72}{4} = 18$ années — une règle approchée que le calcul confirme ici.

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