Un compte que l'on vide peu à peu

1. Récurrence, point fixe, terme général. Le solde est multiplié par $1,05$ puis diminué de $600$ : $$u_{n+1}=1,05u_n-600.$$ Le point fixe est la solution de $x=1,05x-600$, soit $0,05x=600$, donc $$x=\frac{600}{0,05}=12000.$$ Posons $v_n=u_n-12000$. Alors $$v_{n+1}=1,05u_n-600-12000=1,05u_n-12600=1,05(u_n-12000)=1,05v_n,$$ donc $(v_n)$ est géométrique de raison $1,05$, avec $v_0=4000-12000=-8000$. D'où $$u_n=12000-8000\times 1,05^n.$$ Contrôle : $u_1=12000-8400=3600$, et directement $1,05\times 4000-600=4200-600=3600$.

2. Quand le compte se vide. Le solde devient négatif lorsque $$8000\times 1,05^n>12000,\text{c’est-aˋ-dire}1,05^n>1,5.$$ Calculons les puissances qui encadrent ce seuil : $$1,05^8\approx 1,4775,1,05^9\approx 1,5513.$$ Donc $u_8\approx 12000-11820=180$ euros, encore positif, tandis que $u_9\approx 12000-12410=-410$ euros. Le compte devient donc négatif au cours de la neuvième année.

3. Le prélèvement d'équilibre. Le solde reste constant si $u_0$ est lui-même le point fixe. En notant $P$ le prélèvement, le point fixe est $\frac{P}{0,05}$, et l'exigence $\frac{P}{0,05}=4000$ donne $$P=0,05\times 4000=200\text{ euros}.$$ C'est exactement le montant des intérêts de la première année : on ne prélève alors que ce que le compte produit, et le capital est intact.