Un effectif qui se renouvelle

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites arithmético-géométriques

Énoncé

Une société emploie $800$ salariés ; chaque année $15 %$ partent et $90$ sont recrutés. On note $e_{n}$ l'effectif après $n$ années, avec $e_{0} = 800$ .

1. Écrire la récurrence, calculer $e_{1}$ et $e_{2}$ . 2. Résoudre $x = 0, 85 x + 90$ , montrer que $v_{n} = e_{n} - x$ est géométrique, et en déduire $e_{n}$ . 3. L'effectif peut-il descendre sous $600$ ?

Corrigé

1. La récurrence. Perdre $15 %$ , c'est multiplier par $0, 85$ ; on ajoute ensuite les $90$ recrutements : $e_{n + 1} = 0, 85 e_{n} + 90.$ D'où $e_{1} = 0, 85 \times 800 + 90 = 680 + 90 = 770$ , puis $e_{2} = 0, 85 \times 770 + 90 = 654, 5 + 90 = 744, 5$ .

2. Le point fixe et la suite auxiliaire. L'équation $x = 0, 85 x + 90$ s'écrit $0, 15 x = 90$ , d'où $x = \frac{90}{0 , 15} = 600.$ Posons $v_{n} = e_{n} - 600$ . Alors, pour tout $n$ , $v_{n + 1} = e_{n + 1} - 600 = 0, 85 e_{n} + 90 - 600 = 0, 85 e_{n} - 510 = 0, 85 (e_{n} - 600) = 0, 85 v_{n} .$ La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0, 85$ , avec $v_{0} = 800 - 600 = 200$ . Par suite $v_{n} = 200 \times 0, 8 5^{n}$ , et en revenant à $e_{n} = v_{n} + 600$ : $e_{n} = 600 + 200 \times 0, 8 5^{n} .$ Contrôle : $e_{1} = 600 + 170 = 770$ et $e_{2} = 600 + 144, 5 = 744, 5$ , ce qui redonne les valeurs de la question 1.

3. Non, jamais. Le terme $200 \times 0, 8 5^{n}$ est un produit de nombres strictement positifs, donc il est strictement positif pour tout entier $n$ . Par conséquent $e_{n} = 600 + 200 \times 0, 8 5^{n} > 600 pour tout n .$ L'effectif reste toujours au-dessus de $600$ salariés, aussi près qu'on veuille mais jamais en dessous.

Ce que dit le point fixe. $600$ est précisément l'effectif pour lequel les départs, $15 %$ de $600$ , égalent les $90$ recrutements : c'est l'effectif d'équilibre, et la société s'en rapproche année après année sans le franchir.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.