Un fichier client qui se renouvelle

Suites réelles · Suites arithmético-géométriques · niveau 2

Énoncé

Une entreprise a $5000$ clients. Chaque année elle en perd $20 %$ et en gagne $3000$ nouveaux. On note $c_{n}$ le nombre de clients après $n$ années.

Écrire la relation de récurrence, puis calculer $c_{1}$ et $c_{2}$ .
Trouver le point fixe, puis le terme général $c_{n}$ .

Corrigé

1. Perdre $20 %$ c'est garder $80 %$ , donc $c_{n + 1} = 0, 8 c_{n} + 3000$ avec $c_{0} = 5000$ . Alors $c_{1} = 4000 + 3000 = 7000$ et $c_{2} = 5600 + 3000 = 8600$ .

2. Le point fixe vérifie $x = 0, 8 x + 3000$ , soit $0, 2 x = 3000$ et $x = 15000$ . On pose $v_{n} = c_{n} - 15000$ :

$v_{n + 1} = 0, 8 c_{n} + 3000 - 15000 = 0, 8 (c_{n} - 15000) = 0, 8 v_{n},$

donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 8$ et $v_{0} = - 10000$ . D'où

$c_{n} = 15000 - 10000 \times 0, 8^{n} .$

Contrôle. $c_{1} = 15000 - 8000 = 7000$ et $c_{2} = 15000 - 6400 = 8600$ : les deux valeurs de la question 1 sont retrouvées.

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Corrigé

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