Un loyer qui augmente d'un montant fixe

Suites réelles · Suites arithmétiques · niveau 1 (application)

Énoncé

Un abonnement coûte $480$ euros la première année, puis $24$ euros de plus chaque année. On note $a_{0} = 480$ .

1. Donner $a_{n}$ en fonction de $n$ . 2. Combien coûte l'abonnement la neuvième année ? 3. Quelle est la première année où il dépasse $700$ euros ?

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1. Le terme général. On ajoute chaque année le même montant : la suite est arithmétique de raison $r = 24$ , de premier terme $a_{0} = 480$ . Le cours donne $a_{n} = a_{0} + n r$ , donc $a_{n} = 480 + 24 n .$

2. La neuvième année. Elle correspond au rang $n = 8$ , puisque la première année porte le rang $0$ : $a_{8} = 480 + 24 \times 8 = 480 + 192 = 672 euros .$

Le piège du décalage est exactement là : $a_{9} = 696$ euros est le coût de la dixième année.

3. Le premier dépassement. On résout $480 + 24 n > 700 ⟺ 24 n > 220 ⟺ n > 9, 16 .$ La division est faite par $24 > 0$ , donc le sens est conservé. Comme $n$ est entier, le premier rang qui convient est $n = 10$ , c'est-à-dire la onzième année.

Contrôle des deux côtés du seuil : $a_{9} = 696$ euros, qui ne dépasse pas $700$ ; $a_{10} = 480 + 240 = 720$ euros, qui le dépasse.

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