Un matériel qui perd 15 % par an

Suites réelles · Suites géométriques et taux · niveau 2

Énoncé

Un matériel vaut $24000$ euros à l'achat et perd $15 %$ par an. On note $W_{n}$ sa valeur après $n$ années.

1. Exprimer $W_{n}$ , puis calculer $W_{5}$ (arrondi à l'euro).

2. Après six ans, a-t-il perdu plus de $60 %$ de sa valeur d'achat ?

3. Perdre $15 %$ deux années de suite, est-ce perdre $30 %$ ?

Corrigé

Perdre $15 %$ , c'est multiplier par $1 - 0, 15 = 0, 85$ . La suite $(W_{n})$ est donc géométrique de raison $0, 85$ , de premier terme $W_{0} = 24000$ .

1. $W_{n} = 24000 \times 0, 8 5^{n}$ . Pour $n = 5$ : $0, 8 5^{5} \approx 0, 443705, W_{5} \approx 24000 \times 0, 443705 \approx 10649 euros .$

2. Après six ans, $0, 8 5^{6} \approx 0, 377150$ : il reste environ $37, 7 %$ de la valeur d'achat, donc la perte est d'environ $100 - 37, 7 = 62, 3 %$ . C'est bien plus de $60 %$ .

3. Non. Deux baisses de $15 %$ correspondent au coefficient $0, 8 5^{2} = 0, 7225,$ soit une baisse de $27, 75 %$ , et non de $30 %$ . La seconde baisse porte sur une valeur déjà diminuée : elle « rapporte » moins que la première.

Le point à retenir. Les taux ne s'additionnent pas, ce sont les coefficients qui se multiplient. C'est la même règle qui interdit d'écrire $- 15 - 15 = - 30$ ici et qui, dans l'autre sens, fait que deux hausses successives dépassent la somme des taux.

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