Un plan d'épargne

Un plan d'épargne

Suites réelles · Sommes et symbole sigma · niveau 2

Énoncé

On verse $1200$ euros en début de chaque année pendant $8$ ans sur un compte rémunéré à $2 %$ par an. Le versement de la première année est capitalisé $8$ ans, celui de la deuxième $7$ ans, et ainsi de suite. Quelle somme trouve-t-on au bout de $8$ ans ?

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Le total vaut

$1200 \times 1, 0 2^{8} + 1200 \times 1, 0 2^{7} + \dots + 1200 \times 1, 02,$

soit $1200 \times 1, 02$ multiplié par la somme $1 + 1, 02 + \dots + 1, 0 2^{7}$ , qui compte $8$ termes :

$1200 \times 1, 02 \times \frac{1 , 0 2 ^{8} - 1}{1 , 02 - 1} = 1224 \times 8, 582969 \dots \approx 10505, 55 euros .$

Contrôle. On a versé $8 \times 1200 = 9600$ euros ; le compte rend un peu plus de $10500$ euros, soit environ $905$ euros d'intérêts. Un résultat inférieur à $9600$ aurait signalé une erreur de sens.

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