Un stock qui se renouvelle

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites arithmético-géométriques

Énoncé

Un entrepôt contient $12000$ pièces. Chaque mois, $30 %$ du stock est vendu et $2100$ pièces arrivent. On note $s_{n}$ le stock après $n$ mois.

1. Écrire la récurrence, résoudre $x = 0, 7 x + 2100$ .

2. Montrer que $v_{n} = s_{n} - x$ est géométrique, en déduire $s_{n}$ , $s_{3}$ , $s_{6}$ .

3. Montrer que l'écart au niveau $7000$ est multiplié par $0, 7$ par mois.

Corrigé

1. Vendre $30 %$ du stock, c'est en garder $70 %$ ; on ajoute ensuite les entrées : $s_{n + 1} = 0, 7 s_{n} + 2100, s_{0} = 12 000.$ C'est une suite arithmético-géométrique ( $a = 0, 7$ , $b = 2100$ ). Le point fixe vérifie $x = 0, 7 x + 2100$ , soit $0, 3 x = 2100$ et $x = 7000$ .

2. Posons $v_{n} = s_{n} - 7000$ . Alors $v_{n + 1} = s_{n + 1} - 7000 = 0, 7 s_{n} + 2100 - 7000 = 0, 7 s_{n} - 4900 = 0, 7 (s_{n} - 7000) = 0, 7 v_{n} .$ Donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 7$ , avec $v_{0} = 12000 - 7000 = 5000$ .

D'où $v_{n} = 5000 \times 0, 7^{n}$ et, en revenant à $s_{n} = v_{n} + 7000$ : $s_{n} = 7000 + 5000 \times 0, 7^{n} .$ Pour $n = 3$ : $0, 7^{3} = 0, 343$ , donc $s_{3} = 7000 + 1715 = 8715$ pièces. Pour $n = 6$ : $0, 7^{6} = 0, 117649$ , donc $s_{6} \approx 7000 + 588 = 7588$ pièces.

Contrôle. $s_{1} = 0, 7 \times 12000 + 2100 = 10500$ , et la formule donne $7000 + 5000 \times 0, 7 = 10500$ .

3. L'écart au niveau $7000$ est exactement $v_{n}$ , et l'on a démontré $v_{n + 1} = 0, 7 v_{n}$ : chaque mois, cet écart est multiplié par $0, 7$ .

Le point à retenir. Le point fixe n'est pas une astuce de calcul : c'est le niveau où les sorties compensent exactement les entrées. La suite auxiliaire mesure l'écart à ce niveau, et cet écart, lui, suit un modèle géométrique.

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