Une baisse répétée

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites géométriques et pourcentages

Énoncé

Le prix d'un appareil, actuellement de $900$ euros, baisse de $10 %$ chaque année. On note $p_{n}$ son prix après $n$ années.

1. Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ . 2. Calculer $p_{3}$ . 3. Le prix atteindra-t-il un jour zéro ?

Corrigé

1. Le terme général. Baisser de $10 %$ , c'est multiplier par $1 - 0, 10 = 0, 90$ . La suite est donc géométrique de raison $0, 9$ , de premier terme $p_{0} = 900$ : $p_{n} = 900 \times 0, 9^{n} .$

2. Après trois ans. $0, 9^{3} = 0, 729$ , donc $p_{3} = 900 \times 0, 729 = 656, 10 euros .$ On remarque que le prix a baissé de $27, 1 %$ en trois ans, et non de $30 %$ : chaque baisse porte sur un prix déjà réduit.

3. Non, jamais. Le prix $p_{n} = 900 \times 0, 9^{n}$ est un produit de nombres strictement positifs : il est strictement positif pour tout entier $n$ , aussi grand soit-il.

Le prix se rapproche de zéro autant qu'on veut — $p_{50} \approx 4, 6$ euros, $p_{100} \approx 0, 02$ euro — mais il ne l'atteint pas. C'est toute la différence avec une baisse d'un montant fixe, qui finirait par annuler le prix, puis le rendrait négatif.

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