Une production qui augmente chaque semaine

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites arithmétiques et cumuls

Énoncé

Un atelier produit $320$ pièces la première semaine, puis $15$ de plus chaque semaine. On note $p_{n}$ la production de la semaine de rang $n$ , avec $p_{0} = 320$ .

1. Exprimer $p_{n}$ , et calculer la production de la douzième semaine. 2. Calculer la production totale des $20$ premières semaines. 3. À partir de quelle semaine dépasse-t-elle $500$ pièces ?

Corrigé

1. Le terme général. Passer d'une semaine à la suivante revient à ajouter toujours le même nombre $15$ : la suite $(p_{n})$ est arithmétique de raison $r = 15$ et de premier terme $p_{0} = 320$ . Donc $p_{n} = 320 + 15 n .$ La douzième semaine correspond au rang $n = 11$ , puisque la première correspond au rang $0$ : $p_{11} = 320 + 165 = 485 pi e ˋ ces .$

Le piège du décalage est ici : la semaine numéro $k$ porte le rang $k - 1$ . Écrire $p_{12}$ donnerait la production de la treizième semaine.

2. La production totale. Les $20$ premières semaines correspondent aux rangs $0$ à $19$ , soit $19 - 0 + 1 = 20$ termes. Le cours donne, pour une suite arithmétique, $(nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2} .$ Le dernier terme est $p_{19} = 320 + 285 = 605$ , donc la production totale vaut $20 \times \frac{320 + 605}{2} = 20 \times 462, 5 = 9250 pi e ˋ ces .$

3. Le seuil. On résout $320 + 15 n > 500$ , soit $15 n > 180$ , soit $n > 12$ . Comme $n$ est entier, $n \geq 13$ : c'est la quatorzième semaine.

Contrôle : $p_{12} = 320 + 180 = 500$ , qui ne dépasse pas $500$ — l'inégalité est stricte — et $p_{13} = 515$ , qui le dépasse.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.