Une somme d'entiers

Première somme. $\sum _{k=1}^{50}k=\frac{50\times 51}{2}=1275$.

Seconde somme. On sépare, en utilisant les deux règles :

$$\sum _{k=1}^{50}(4k-3)=4\sum _{k=1}^{50}k-\sum _{k=1}^{50}3=4\times 1275-50\times 3=5100-150=4950.$$

Contrôle par l'autre méthode. La suite $4k-3$ est arithmétique, de premier terme $1$ et de dernier terme $197$, sur $50$ termes : $50\times \frac{1+197}{2}=50\times 99=4950$. Les deux chemins donnent le même nombre.