Une suite auxiliaire

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Suites arithmético-géométriques

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + \frac{3}{2}$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 3$ .

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ .
Montrer que $(v_{n})$ est géométrique et donner sa raison.
En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ , et vérifier sur $u_{3}$ .

Corrigé

1. $u_{1} = 2, 5 + 1, 5 = 4$ ; $u_{2} = 2 + 1, 5 = 3, 5$ ; $u_{3} = 1, 75 + 1, 5 = 3, 25$ .

2. Pour tout $n$ ,

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 3 = \frac{1}{2} u_{n} + \frac{3}{2} - 3 = \frac{1}{2} u_{n} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} (u_{n} - 3) = \frac{1}{2} v_{n} .$

Le rapport $\frac{1}{2}$ ne dépend pas de $n$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , avec $v_{0} = 5 - 3 = 2$ .

3. Donc $v_{n} = 2 \times (\frac{1}{2})^{n}$ et

$u_{n} = 3 + 2 \times (\frac{1}{2})^{n} .$

Vérification : $u_{3} = 3 + 2 \times \frac{1}{8} = 3 + 0, 25 = 3, 25$ , la valeur de la question 1.

D'où vient le $3$ . C'est le point fixe : $x = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ donne $\frac{1}{2} x = \frac{3}{2}$ , soit $x = 3$ . L'énoncé l'avait déjà calculé pour nous en posant $v_{n} = u_{n} - 3$ .

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