Une suite géométrique dont on connaît deux termes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 3 — Suites réelles · Raison et terme général

Énoncé

Une suite $(v_{n})$ est géométrique, à termes strictement positifs, et vérifie $v_{3} = 54$ et $v_{6} = 1458$ .

1. Déterminer la raison, puis $v_{0}$ . 2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ . 3. Calculer $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{8}$ .

Corrigé

1. La raison et le premier terme. Le cours donne $v_{n} = v_{p} q^{n - p}$ . Entre les rangs $6$ et $3$ : $1458 = 54 \times q^{3} soit q^{3} = \frac{1 458}{54} = 27.$ Le seul réel dont le cube vaut $27$ est $q = 3$ ; et la suite étant à termes positifs, cette valeur convient. Puis, entre les rangs $3$ et $0$ : $54 = v_{0} \times 3^{3} = 27 v_{0} donne v_{0} = 2.$

2. Le terme général. $v_{n} = v_{0} q^{n}$ , donc $v_{n} = 2 \times 3^{n} .$ Contrôle : $v_{3} = 2 \times 27 = 54$ et $v_{6} = 2 \times 729 = 1458$ .

3. La somme. Il s'agit de $9$ termes consécutifs, de $v_{0}$ à $v_{8}$ . La première chose à écrire est ce nombre de termes : de $0$ à $8$ il y en a $8 - 0 + 1 = 9$ . La formule du cours donne $k = 0 \sum 8 v_{k} = v_{0} \times \frac{1 - q ^{9}}{1 - q} = 2 \times \frac{1 - 3 ^{9}}{1 - 3} .$ Or $3^{9} = 19683$ , donc $k = 0 \sum 8 v_{k} = 2 \times \frac{- 19 682}{- 2} = 19 682.$

Contrôle grossier. Le dernier terme vaut $v_{8} = 2 \times 6561 = 13122$ ; une somme géométrique de raison $3$ vaut environ une fois et demie son dernier terme, et $19682 \approx 1, 5 \times 13122$ .

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