Exercices corrigés — Réduction des matrices carrées (mathématiques (ECT 2e année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Polynôme d'une matrice et polynôme annulateur

• Calculer un polynôme de matrice
• D'une relation aux puissances
• Lire un polynôme annulateur sur la matrice Exercice d'entraînement
• Une matrice dont le cube est nul Exercice d'entraînement
• Toutes les puissances, à partir d'une seule relation Exercice d'entraînement

Valeurs propres et vecteurs propres

• Vérifier qu'un vecteur est propre
• Une matrice triangulaire
• Éléments propres d'une matrice d'ordre 2
• Les éléments propres, en deux temps Exercice d'entraînement
• Une matrice triangulaire d'ordre 3 Exercice d'entraînement
• Quand zéro est valeur propre Exercice d'entraînement

L'inverse par un polynôme annulateur

• Inverser par un polynôme annulateur
• Inverser une matrice d'ordre 3 sans pivot
• Inverser une matrice d'ordre 2 sans pivot Exercice supplémentaire
• Une relation donnée, un inverse déduit Exercice supplémentaire

Diagonalisation

• Une matrice égale à son carré
• Une matrice qui n'est pas diagonalisable
• Une matrice d'ordre 3 et ses trois valeurs propres
• Construire P et D, puis les contrôler Exercice d'entraînement
• Une matrice d'ordre 3 qui n'est pas diagonalisable Exercice d'entraînement
• Diagonaliser, puis monter en puissance Exercice d'entraînement

Puissances et suites récurrentes

• Diagonaliser, puis élever à la puissance
• La répartition à long terme
• Une suite récurrente d'ordre 2
• La répartition qui ne bouge plus
• Une suite dont la matrice ne se diagonalise pas

Applications de la réduction

• Les puissances d'une matrice qui ne se diagonalise pas Exercice d'entraînement
• Deux suites qui s'alimentent l'une l'autre Exercice d'entraînement
• Reconstruire une matrice à partir de ses éléments propres Exercice d'entraînement

Polynôme d'une matrice

• Calculer Q(A) Exercice supplémentaire
• Lire l'annulateur sur les coefficients Exercice supplémentaire

Vecteurs propres

• Deux colonnes à tester Exercice supplémentaire
• Les candidats d'une matrice triangulaire Exercice supplémentaire

Diagonalisation et puissances

• Vérifier une diagonalisation Exercice supplémentaire
• Les puissances par la formule $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ Exercice supplémentaire

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