Réduction des matrices carrées

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice symétrique transforme le cercle en ellipse : ses vecteurs propres donnent les axes et ne changent pas de direction.

Élever une matrice à la puissance $n$ à la main est vite impossible : trois produits pour $A^{4}$ , et bien davantage pour $A^{20}$ . Or c'est exactement ce que réclament les situations de gestion où l'on répète une même transformation — la répartition d'une clientèle entre deux agences mois après mois, ou une suite définie par ses deux termes précédents. L'idée de ce chapitre est de changer de point de vue : trouver des directions que la matrice se contente d'étirer, sans les tourner. Dans ces directions, multiplier par $A$ revient à multiplier par un nombre, et élever à la puissance $n$ devient immédiat. Ces directions sont les vecteurs propres, et les nombres les valeurs propres.

AttentionLe cadre du programme, à lire avant tout

Trois phrases délimitent strictement ce chapitre.

« La notation $det (A)$ pourra être utilisée, mais elle sera limitée au cas des matrices carrées d'ordre $2$ . La notion de déterminant est hors-programme. »
« La notion de polynôme minimal, la résolution générale des systèmes $A X = λ X$ (avec $λ$ paramètre quelconque) et toute théorie sur la réduction sont hors programme. »
« On évitera les méthodes trop calculatoires … En particulier, la résolution de systèmes à paramètres est à proscrire. »

Les valeurs propres se chercheront donc par un polynôme annulateur, jamais autrement, et l'on travaillera sur des matrices d'ordre inférieur ou égal à $3$ .

6.1 Polynôme d'une matrice

Définition 6.1Polynôme d'une matrice

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ et $Q (X) = a_{p} X^{p} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ un polynôme. On pose

$Q (A) = a_{p} A^{p} + \dots + a_{1} A + a_{0} I_{n},$

où $I_{n}$ est la matrice identité d'ordre $n$ . C'est encore une matrice carrée d'ordre $n$ .

ImportantLe terme constant devient

a_{0} I_{n}

C'est la seule difficulté de la définition, et c'est une faute classique : on ne peut pas ajouter un nombre à une matrice. Le terme constant $a_{0}$ se lit donc $a_{0} A^{0} = a_{0} I_{n}$ , une matrice diagonale et non un scalaire. Écrire « $A^{2} - 5 A + 4$ » n'a aucun sens ; on écrit $A^{2} - 5 A + 4 I_{2}$ .

Exemple 6.2Un calcul complet

Prenons $A = (3212)$ et $Q (X) = X^{2} - 5 X + 4$ . On calcule d'abord $A^{2} = (111056)$ , puis

$Q (A) = (111056) - (1510510) + (4004) = (0000) .$

Le résultat est la matrice nulle : ce n'est pas un hasard, et la section suivante explique pourquoi.

6.2 Polynôme annulateur

Définition 6.3Polynôme annulateur

Un polynôme $Q$ est un polynôme annulateur de la matrice carrée $A$ lorsque $Q (A) = 0$ , la matrice nulle.

◆Théorème 6.4L'annulateur des matrices d'ordre 2

Soit $A = (a c b d)$ . Le polynôme

$Q (X) = X^{2} - (a + d) X + (a d - b c)$

est un polynôme annulateur de $A$ .

Démonstration

Un calcul direct donne $A^{2} = (a^{2} + b c c (a + d) b (a + d) d^{2} + b c)$ et $(a + d) A = (a^{2} + a d c (a + d) b (a + d) a d + d^{2})$ . Les termes hors diagonale disparaissent par soustraction et il reste

$A^{2} - (a + d) A = (b c - a d 0 0 b c - a d) = - (a d - b c) I_{2},$

c'est-à-dire $A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I_{2} = 0$ .

ImportantDeux nombres à lire sur la matrice

Les deux coefficients de $Q$ se lisent sans calcul : la somme des coefficients diagonaux $a + d$ , et le nombre $a d - b c$ que l'on note $det (A)$ — celui-là même qui décide de l'inversibilité d'une matrice d'ordre $2$ .

AttentionLe déterminant s'arrête à l'ordre 2

Le programme est catégorique : « La notation $det (A)$ pourra être utilisée, mais elle sera limitée au cas des matrices carrées d'ordre $2$ . La notion de déterminant est hors-programme. »

Pour une matrice d'ordre $3$ , il n'y a donc aucun déterminant à calculer : un polynôme annulateur vous sera toujours donné, ou se lira sur une relation du type $A^{2} = 5 A - 4 I_{3}$ que l'énoncé vous fera vérifier.

Exemple 6.5La matrice de transfert de deux agences

Une banque possède deux agences. Chaque mois, $80 %$ des clients de l'agence A y restent et $20 %$ passent à B ; $30 %$ des clients de B passent à A et $70 %$ y restent. La matrice de transfert est

$M = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7) .$

Ici $a + d = 1, 5$ et $a d - b c = 0, 56 - 0, 06 = 0, 5$ , donc $Q (X) = X^{2} - 1, 5 X + 0, 5$ annule $M$ . Ses racines sont $1$ et $0, 5$ , car $Q (X) = (X - 1) (X - 0, 5)$ .

6.3 L'inverse par un polynôme annulateur

◆Théorème 6.6Inverser sans pivot

Supposons $A^{2} - s A + p I_{n} = 0$ avec $p \neq = 0$ . Alors $A$ est inversible et

$A^{- 1} = \frac{1}{p} (s I_{n} - A) .$

Exercices du chapitre

Calculer un polynôme de matrice corrigé
D'une relation aux puissances corrigé
Vérifier qu'un vecteur est propre corrigé
Une matrice triangulaire corrigé
Éléments propres d'une matrice d'ordre 2 corrigé
Inverser par un polynôme annulateur corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre