Réduction des matrices carrées

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 · prépa ECT, 2e année

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Élever une matrice à la puissance $n$ à la main est vite impossible : trois produits pour $A^{4}$ , et bien davantage pour $A^{20}$ . Or c'est exactement ce que réclament les situations de gestion où l'on répète une même transformation — la répartition d'une clientèle entre deux agences mois après mois, ou une suite définie par ses deux termes précédents. L'idée de ce chapitre est de changer de point de vue : trouver des directions que la matrice se contente d'étirer, sans les tourner. Dans ces directions, multiplier par $A$ revient à multiplier par un nombre, et élever à la puissance $n$ devient immédiat. Ces directions sont les vecteurs propres, et les nombres les valeurs propres.

AttentionLe cadre du programme, à lire avant tout

Trois phrases délimitent strictement ce chapitre.

« La notation $det (A)$ pourra être utilisée, mais elle sera limitée au cas des matrices carrées d'ordre $2$ . La notion de déterminant est hors-programme. »
« La notion de polynôme minimal, la résolution générale des systèmes $A X = λ X$ (avec $λ$ paramètre quelconque) et toute théorie sur la réduction sont hors programme. »
« On évitera les méthodes trop calculatoires … En particulier, la résolution de systèmes à paramètres est à proscrire. »

Les valeurs propres se chercheront donc par un polynôme annulateur, jamais autrement, et l'on travaillera sur des matrices d'ordre inférieur ou égal à $3$ .

6.1 Polynôme d'une matrice

Définition 6.1Polynôme d'une matrice

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ et $Q (X) = a_{p} X^{p} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ un polynôme. On pose

$Q (A) = a_{p} A^{p} + \dots + a_{1} A + a_{0} I_{n},$

où $I_{n}$ est la matrice identité d'ordre $n$ . C'est encore une matrice carrée d'ordre $n$ .

ImportantLe terme constant devient

a_{0} I_{n}

C'est la seule difficulté de la définition, et c'est une faute classique : on ne peut pas ajouter un nombre à une matrice. Le terme constant $a_{0}$ se lit donc $a_{0} A^{0} = a_{0} I_{n}$ , une matrice diagonale et non un scalaire. Écrire « $A^{2} - 5 A + 4$ » n'a aucun sens ; on écrit $A^{2} - 5 A + 4 I_{2}$ .

Exemple 6.2Un calcul complet

Prenons $A = (3212)$ et $Q (X) = X^{2} - 5 X + 4$ . On calcule d'abord $A^{2} = (111056)$ , puis

$Q (A) = (111056) - (1510510) + (4004) = (0000) .$

Le résultat est la matrice nulle : ce n'est pas un hasard, et la section suivante explique pourquoi.

6.2 Polynôme annulateur

Définition 6.3Polynôme annulateur

Un polynôme $Q$ est un polynôme annulateur de la matrice carrée $A$ lorsque $Q (A) = 0$ , la matrice nulle.

◆Théorème 6.4L'annulateur des matrices d'ordre 2

Soit $A = (a c b d)$ . Le polynôme

$Q (X) = X^{2} - (a + d) X + (a d - b c)$

est un polynôme annulateur de $A$ .

Démonstration

Un calcul direct donne $A^{2} = (a^{2} + b c c (a + d) b (a + d) d^{2} + b c)$ et $(a + d) A = (a^{2} + a d c (a + d) b (a + d) a d + d^{2})$ . Les termes hors diagonale disparaissent par soustraction et il reste

$A^{2} - (a + d) A = (b c - a d 0 0 b c - a d) = - (a d - b c) I_{2},$

c'est-à-dire $A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I_{2} = 0$ .

ImportantDeux nombres à lire sur la matrice

Les deux coefficients de $Q$ se lisent sans calcul : la somme des coefficients diagonaux $a + d$ , et le nombre $a d - b c$ que l'on note $det (A)$ — celui-là même qui décide de l'inversibilité d'une matrice d'ordre $2$ .

AttentionLe déterminant s'arrête à l'ordre 2

Le programme est catégorique : « La notation $det (A)$ pourra être utilisée, mais elle sera limitée au cas des matrices carrées d'ordre $2$ . La notion de déterminant est hors-programme. »

Pour une matrice d'ordre $3$ , il n'y a donc aucun déterminant à calculer : un polynôme annulateur vous sera toujours donné, ou se lira sur une relation du type $A^{2} = 5 A - 4 I_{3}$ que l'énoncé vous fera vérifier.

Exemple 6.5La matrice de transfert de deux agences

Une banque possède deux agences. Chaque mois, $80 %$ des clients de l'agence A y restent et $20 %$ passent à B ; $30 %$ des clients de B passent à A et $70 %$ y restent. La matrice de transfert est

$M = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7) .$

Ici $a + d = 1, 5$ et $a d - b c = 0, 56 - 0, 06 = 0, 5$ , donc $Q (X) = X^{2} - 1, 5 X + 0, 5$ annule $M$ . Ses racines sont $1$ et $0, 5$ , car $Q (X) = (X - 1) (X - 0, 5)$ .

6.3 L'inverse par un polynôme annulateur

◆Théorème 6.6Inverser sans pivot

Supposons $A^{2} - s A + p I_{n} = 0$ avec $p \neq = 0$ . Alors $A$ est inversible et

$A^{- 1} = \frac{1}{p} (s I_{n} - A) .$

Démonstration

De $A^{2} - s A + p I_{n} = 0$ on tire $A (s I_{n} - A) = p I_{n}$ , puis, en divisant par $p \neq = 0$ , $A \times \frac{1}{p} (s I_{n} - A) = I_{n}$ . Le même calcul à gauche donne l'autre égalité : $A$ est inversible, d'inverse $\frac{1}{p} (s I_{n} - A)$ .

Exemple 6.7Un inverse en trois lignes

Soit $A = (4123)$ . On lit $a + d = 7$ et $a d - b c = 12 - 2 = 10$ , donc $A^{2} - 7 A + 10 I_{2} = 0$ . Comme $10 \neq = 0$ :

$A^{- 1} = \frac{1}{10} (7 I_{2} - A) = \frac{1}{10} (3 - 1 - 2 4) .$

Contrôle. $A \times \frac{1}{10} (3 - 1 - 2 4) = \frac{1}{10} (100010) = I_{2}$ : on retrouve la formule d'inversion d'ordre $2$ du chapitre 1.

AttentionIl faut

p \neq = 0

Si le terme constant du polynôme annulateur est nul, la méthode ne dit rien — et pour cause : $A$ peut alors ne pas être inversible. Ainsi $A = (21 - 2 - 1)$ vérifie $A^{2} - A = 0$ , et cette matrice n'est pas inversible.

Python : Vérifier un polynôme annulateur


import numpy as np

A = np.array([[3, 1], [2, 2]])
t = A[0, 0] + A[1, 1]
d = A[0, 0]*A[1, 1] - A[0, 1]*A[1, 0]
print(t, d)
print(A @ A - t*A + d*np.eye(2, dtype=int))

Sortie : 5 4, puis une matrice dont les quatre coefficients valent 0. Le signe @ est le produit matriciel de Python ; avec * on obtiendrait un produit terme à terme, qui ne veut rien dire ici.

6.4 Valeurs propres et vecteurs propres

Définition 6.8Valeur propre, vecteur propre

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ . Un réel $λ$ est une valeur propre de $A$ s'il existe une matrice colonne $X$ non nulle telle que

$A X = λ X .$

Une telle colonne $X$ est alors appelée vecteur propre de $A$ associé à $λ$ .

ImportantLe mot « non nulle » n'est pas décoratif

Sans lui, $λ$ serait n'importe quel nombre, puisque $A \times 0 = λ \times 0$ toujours. Retenons donc : un vecteur propre n'est jamais nul, alors qu'une valeur propre peut très bien valoir $0$ .

Exemple 6.9Deux vecteurs propres d'une matrice d'ordre 3

Soit $A = 211121112$ . Pour $X = 111$ , on trouve $A X = 444 = 4 X$ : $X$ est vecteur propre associé à la valeur propre $4$ .

Pour $Y = 1 - 1 0$ , on trouve $A Y = 1 - 1 0 = 1 \times Y$ : $Y$ est vecteur propre associé à la valeur propre $1$ . En revanche, pour $Z = 110$ , $A Z = 332$ , qui n'est proportionnel à aucun multiple de $Z$ .

Proposition 6.10La valeur propre

0

Si $0$ est valeur propre de $A$ , alors $A$ n'est pas inversible.

Démonstration

Il existe $X \neq = 0$ avec $A X = 0$ . Si $A$ était inversible, on multiplierait à gauche par $A^{- 1}$ et l'on obtiendrait $X = A^{- 1} \times 0 = 0$ , ce qui contredit $X \neq = 0$ .

6.5 Chercher les valeurs propres

◆Théorème 6.11Le crible, admis

Si $Q$ est un polynôme annulateur de $A$ , alors toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$ .

ImportantUn crible donne des CANDIDATS, pas des valeurs propres

Le théorème se lit dans un seul sens : les racines de $Q$ forment une liste de candidats, aucune autre valeur ne pouvant être valeur propre — mais certains candidats peuvent ne pas en être. La marche à suivre est donc en deux temps : (1) on trouve un polynôme annulateur et l'on calcule ses racines ; (2) pour chaque racine $λ$ , on cherche une colonne $X \neq = 0$ vérifiant $A X = λ X$ .

Exemple 6.12Les éléments propres de la matrice de transfert

Reprenons $M = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7)$ , dont $Q (X) = (X - 1) (X - 0, 5)$ est annulateur. Les candidats sont donc $1$ et $0, 5$ .

Pour $λ = 1$ . L'équation $M X = X$ s'écrit $0, 8 x + 0, 3 y = x$ , c'est-à-dire $0, 3 y = 0, 2 x$ , soit $2 x = 3 y$ . La colonne $X_{1} = (32)$ convient, et elle est non nulle : $1$ est bien valeur propre.

Pour $λ = 0, 5$ . L'équation $M X = 0, 5 X$ s'écrit $0, 8 x + 0, 3 y = 0, 5 x$ , soit $0, 3 x + 0, 3 y = 0$ , soit $y = - x$ . La colonne $X_{2} = (1 - 1)$ convient.

Les deux candidats sont donc des valeurs propres, avec les vecteurs propres $X_{1}$ et $X_{2}$ .

Proposition 6.13Cas d'une matrice triangulaire

Si $T$ est triangulaire, ses valeurs propres sont à chercher parmi ses coefficients diagonaux.

Démonstration

Soit $λ$ qui n'est aucun des coefficients diagonaux de $T$ . La matrice $T - λ I_{n}$ est encore triangulaire, et ses coefficients diagonaux $t_{ii} - λ$ sont tous non nuls : par le critère d'inversibilité des matrices triangulaires, elle est inversible. Alors $T X = λ X$ donne $(T - λ I_{n}) X = 0$ , puis $X = 0$ : aucun vecteur propre, donc $λ$ n'est pas valeur propre.

AttentionCe qu'on ne fera jamais

Le programme proscrit « la résolution de systèmes à paramètres » et écarte « toute théorie sur la réduction ». On ne cherche donc jamais les valeurs propres en résolvant $A X = λ X$ avec $λ$ inconnu : on part toujours d'un polynôme annulateur, dont les racines sont des nombres, et l'on résout autant de systèmes numériques qu'il y a de racines.

6.6 Matrices diagonalisables

Définition 6.14Matrice diagonalisable

Une matrice carrée $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice diagonale $D$ et une matrice carrée inversible $P$ telles que

$D = P^{- 1} A P, ce qui e ˊ quivaut a ˋ A = P D P^{- 1} .$

ImportantComment

P

D

sont fabriquées

La matrice $P$ est construite en rangeant en colonnes des vecteurs propres de $A$ , et $D$ porte sur sa diagonale les valeurs propres correspondantes, dans le même ordre : échanger deux colonnes de $P$ oblige à échanger les deux coefficients de $D$ . Le programme précise que « leur construction n'est pas exigible » — $P$ et $D$ vous seront souvent fournies, à charge de vérifier l'égalité.

Exemple 6.15Diagonaliser une matrice d'ordre 2

Reprenons $A = (3212)$ , annulée par $X^{2} - 5 X + 4 = (X - 1) (X - 4)$ . Les candidats sont $1$ et $4$ .

Pour $λ = 4$ , l'équation $A X = 4 X$ donne $3 x + y = 4 x$ , soit $y = x$ : $(11)$ convient.

Pour $λ = 1$ , l'équation $A X = X$ donne $3 x + y = x$ , soit $y = - 2 x$ : $(1 - 2)$ convient.

On pose donc $P = (11 1 - 2)$ et $D = (4001)$ . Comme $a d - b c = - 3 \neq = 0$ , $P$ est inversible et $P^{- 1} = \frac{1}{3} (21 1 - 1)$ . On vérifie que $P D P^{- 1} = A$ .

AttentionValeur propre multiple : les vecteurs sont DONNÉS

Le programme le dit sans ambiguïté : « La recherche de vecteurs propres ne pourra être demandée que dans le cas de valeurs propres de multiplicité $1$ . Dans les autres cas, les vecteurs propres devront être donnés. »

Quand une même valeur propre revient deux fois sur la diagonale de $D$ , l'énoncé vous fournit donc les deux colonnes ; votre travail se limite à vérifier $A X = λ X$ .

Exemple 6.16Une matrice d'ordre 3

Soit $A = 211121112$ . Un calcul donne $A^{2} = 655565556 = 5 A - 4 I_{3}$ , donc $X^{2} - 5 X + 4 = (X - 1) (X - 4)$ annule $A$ .

On a déjà vu que $4$ est valeur propre, de vecteur propre $(1, 1, 1)$ , et que $1$ l'est aussi, de vecteur propre $(1, - 1, 0)$ . Le programme demande de donner le second vecteur associé à $1$ : c'est $(1, 0, - 1)$ , et l'on vérifie bien $A 10 - 1 = 10 - 1$ . En rangeant ces trois colonnes,

$P = 111 1 - 1 0 10 - 1, D = 400010001, P^{- 1} = \frac{1}{3} 111 1 - 2 1 11 - 2,$

et $A = P D P^{- 1}$ .

6.7 Puissances d'une matrice

◆Théorème 6.17La formule des puissances

Si $A = P D P^{- 1}$ , alors pour tout entier $n \geq 1$ : $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ . De plus, si $D$ est diagonale de coefficients $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ , alors $D^{n}$ est diagonale de coefficients $λ_{1}^{n}, \dots, λ_{n}^{n}$ .

Démonstration

Par récurrence. Au rang $1$ c'est l'hypothèse. Si $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ , alors

$A^{n + 1} = A^{n} \times A = P D^{n} P^{- 1} \times P D P^{- 1} = P D^{n} (P^{- 1} P) D P^{- 1} = P D^{n + 1} P^{- 1},$

puisque $P^{- 1} P = I$ . La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n \geq 1$ .

Exemple 6.18Les puissances de la matrice d'ordre 2

Avec $A = (3212) = P D P^{- 1}$ comme ci-dessus,

$A^{n} = (11 1 - 2) (4^{n} 0 01) \frac{1}{3} (21 1 - 1) = \frac{1}{3} (2 \cdot 4^{n} + 1 2 \cdot 4^{n} - 2 4^{n} - 1 4^{n} + 2) .$

Contrôles. Pour $n = 1$ : $\frac{1}{3} (9636) = A$ . Pour $n = 2$ : $\frac{1}{3} (33301518) = (111056) = A^{2}$ . Deux vérifications valent mieux qu'une.

Python : Les puissances par la diagonalisation


import numpy as np

P = np.array([[1.0, 1.0], [1.0, -2.0]])
Q = np.linalg.inv(P)
for n in [1, 2, 5]:
    D = np.array([[4.0**n, 0.0], [0.0, 1.0]])
    print(n, np.round(P @ D @ Q, 6).tolist())

Sortie : 1 [[3.0, 1.0], [2.0, 2.0]], puis 2 [[11.0, 5.0], [10.0, 6.0]], puis 5 [[683.0, 341.0], [682.0, 342.0]]. La formule exacte donne pour $n = 5$ : $\frac{1}{3} (2 \cdot 1024 + 1) = 683$ et $\frac{1}{3} (1024 - 1) = 341$ . Les deux coïncident.

6.8 Suites récurrentes et systèmes de suites

Exemple 6.19Les deux agences, mois après mois

Notons $a_{n}$ et $b_{n}$ les parts de clientèle des agences A et B au bout de $n$ mois, avec $a_{0} = 1$ et $b_{0} = 0$ (tous les clients sont initialement en A). Les règles de transfert s'écrivent

${a_{n + 1} = 0, 8 a_{n} + 0, 3 b_{n} b_{n + 1} = 0, 2 a_{n} + 0, 7 b_{n} c’est- a ˋ -dire X_{n + 1} = M X_{n}, X_{n} = (a_{n} b_{n}) .$

On en tire $X_{n} = M^{n} X_{0}$ , et la diagonalisation de $M$ donne, avec les vecteurs propres $(32)$ et $(1 - 1)$ trouvés plus haut,

$a_{n} = 0, 6 + 0, 4 \times 0, 5^{n}, b_{n} = 0, 4 - 0, 4 \times 0, 5^{n} .$

Contrôles. Pour $n = 0$ : $a_{0} = 1$ et $b_{0} = 0$ . Pour $n = 1$ : $a_{1} = 0, 8$ et $b_{1} = 0, 2$ , ce que donne aussi $M X_{0}$ . Pour $n = 3$ : $a_{3} = 0, 65$ .

Le long terme. Comme $0, 5^{n}$ tend vers $0$ , les parts tendent vers $0, 6$ et $0, 4$ : la répartition se stabilise à $60 %$ / $40 %$ . C'est le vecteur propre associé à la valeur propre $1$ , normalisé pour que ses termes somment à $1$ .

Python : La convergence, au clavier


import numpy as np

M = np.array([[0.8, 0.3], [0.2, 0.7]])
x = np.array([1.0, 0.0])
for n in range(1, 7):
    x = M @ x
    print(n, round(x[0], 6), round(x[1], 6))

Sortie : 1 0.8 0.2, 2 0.7 0.3, 3 0.65 0.35, 4 0.625 0.375, 5 0.6125 0.3875, 6 0.60625 0.39375. Chaque ligne coïncide avec la formule $a_{n} = 0, 6 + 0, 4 \times 0, 5^{n}$ : la machine corrobore, le calcul matriciel démontre.

Exemple 6.20Une suite récurrente d'ordre 2

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 5$ et $u_{n + 2} = 5 u_{n + 1} - 6 u_{n}$ . Posons $U_{n} = (u_{n + 1} u_{n})$ : alors $U_{n + 1} = B U_{n}$ avec $B = (51 - 6 0)$ .

Ici $a + d = 5$ et $a d - b c = 0 + 6 = 6$ , donc $X^{2} - 5 X + 6 = (X - 2) (X - 3)$ annule $B$ : les valeurs propres sont $2$ et $3$ . La suite s'écrit alors $u_{n} = α 2^{n} + β 3^{n}$ , et les conditions initiales donnent $α + β = 1$ et $2 α + 3 β = 5$ , d'où $β = 3$ et $α = - 2$ :

$u_{n} = 3^{n + 1} - 2^{n + 1} .$

Contrôles. $u_{0} = 3 - 2 = 1$ , $u_{1} = 9 - 4 = 5$ , $u_{2} = 27 - 8 = 19$ ; et la récurrence donne $u_{2} = 5 \times 5 - 6 \times 1 = 19$ . De même $u_{3} = 81 - 16 = 65$ et $5 \times 19 - 6 \times 5 = 65$ .

AttentionSur des exemples, et seulement ainsi

Le programme ferme la porte à toute systématisation : « La méthode générale de résolution est hors-programme. » Un énoncé vous guidera donc pas à pas — matrice $B$ , polynôme annulateur, valeurs propres, forme de $u_{n}$ , conditions initiales. On ne vous demandera jamais de retrouver seul cette marche.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices