Compléments d'analyse

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 7 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une courbe convexe et sa tangente, qui reste en dessous de la courbe.

Jusqu'ici, une intégrale se calculait entre deux nombres. Ce chapitre en repousse une borne — ou les deux — à l'infini. La question devient : une aire qui s'étend sans fin peut-elle valoir un nombre fini ? La réponse est oui, souvent, et c'est précisément ce qui rendra possible le chapitre suivant : une probabilité sera une aire, et l'aire totale devra valoir $1$ .

AttentionUn outil, et rien qu'un outil

Le programme donne à ce chapitre un statut très particulier : « Les notions introduites dans ce chapitre le sont exclusivement pour leurs applications au calcul des probabilités. Aucune difficulté ne sera soulevée. »

Il précise même la seule méthode attendue : « Le calcul des intégrales généralisées est effectué par des recherches de primitives sur des intervalles du type $[a, b]$ , l'application de la relation de Chasles, et des passages à la limite en $- \infty$ et/ou $+ \infty$ . »

Il n'y aura donc ici aucun critère théorique de convergence : on cherche une primitive, on l'évalue entre deux nombres, on fait tendre une borne vers l'infini. Trois gestes, toujours les mêmes.

AttentionLa seule borne infinie

Une phrase du programme délimite tout le chapitre : « Les intégrales généralisées en un point réel sont hors-programme. »

Autrement dit : on ne rencontrera jamais ici une fonction qui explose au bord d'un segment, comme $\frac{1}{t}$ au voisinage de $0$ . Les seules bornes délicates sont $- \infty$ et $+ \infty$ ; partout ailleurs, la fonction reste sage. Et conformément au programme, « tout excès de technicité est exclu ».

7.1 Une aire sans fin, et pourtant finie

Prenons $f (t) = e^{- t}$ sur $[0, + \infty [$ . On sait calculer l'aire sous la courbe entre $0$ et n'importe quel nombre $x$ : une primitive de $e^{- t}$ est $- e^{- t}$ , donc

$\int_{0}^{x} e^{- t} d t = [- e^{- t}]_{0}^{x} = - e^{- x} + 1 = 1 - e^{- x} .$

Le nombre $e^{- x}$ devient minuscule dès que $x$ grandit. L'aire, elle, ne dépasse jamais $1$ — et s'en approche autant qu'on veut.

Définition 7.1Intégrale sur un intervalle non borné à droite

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, + \infty [$ . On dit que l'intégrale $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ converge lorsque

$x \to + \infty lim \int_{a}^{x} f (t) d t$

existe et est finie. Dans ce cas on pose

$\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t = x \to + \infty lim \int_{a}^{x} f (t) d t .$

Si cette limite n'existe pas, ou vaut $\pm \infty$ , on dit que l'intégrale diverge : le symbole $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ ne désigne alors aucun nombre.

ImportantLa méthode, en trois gestes

Pour étudier $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ :

Une primitive. Trouver $F$ telle que $F^{'} = f$ sur $[a, + \infty [$ .
Sur un segment. Écrire $\int_{a}^{x} f (t) d t = F (x) - F (a)$ , pour $x > a$ .
La limite. Faire tendre $x$ vers $+ \infty$ et conclure : limite finie $\Rightarrow$ convergence, et c'est la valeur.

On n'écrit jamais $\int_{a}^{+ \infty}$ avant d'avoir fait le troisième geste : tant que la limite n'est pas connue, ce symbole n'a pas de sens.

Exemple 7.2L'intégrale de référence de tout le livre

Soit $λ > 0$ . Une primitive de $e^{- λ t}$ est $- \frac{1}{λ} e^{- λ t}$ , donc pour $x > 0$ :

$\int_{0}^{x} λ e^{- λ t} d t = [- e^{- λ t}]_{0}^{x} = 1 - e^{- λ x} .$

Comme $λ > 0$ , $e^{- λ x} \to 0$ quand $x \to + \infty$ . L'intégrale converge et

$\int_{0}^{+ \infty} λ e^{- λ t} d t = 1.$

Ce $1$ n'est pas une coïncidence : au chapitre suivant, $λ e^{- λ t}$ sera une densité, et cette aire totale de $1$ sera la probabilité de l'événement certain.

Exercices du chapitre

Une puissance de t corrigé
Deux exponentielles décroissantes corrigé
Deux divergences corrigé
Une fraction rationnelle à intégrer corrigé
Une borne qui part à gauche corrigé
Sur la droite entière corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre