Compléments d'analyse

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 7 · prépa ECT, 2e année

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Jusqu'ici, une intégrale se calculait entre deux nombres. Ce chapitre en repousse une borne — ou les deux — à l'infini. La question devient : une aire qui s'étend sans fin peut-elle valoir un nombre fini ? La réponse est oui, souvent, et c'est précisément ce qui rendra possible le chapitre suivant : une probabilité sera une aire, et l'aire totale devra valoir $1$ .

AttentionUn outil, et rien qu'un outil

Le programme donne à ce chapitre un statut très particulier : « Les notions introduites dans ce chapitre le sont exclusivement pour leurs applications au calcul des probabilités. Aucune difficulté ne sera soulevée. »

Il précise même la seule méthode attendue : « Le calcul des intégrales généralisées est effectué par des recherches de primitives sur des intervalles du type $[a, b]$ , l'application de la relation de Chasles, et des passages à la limite en $- \infty$ et/ou $+ \infty$ . »

Il n'y aura donc ici aucun critère théorique de convergence : on cherche une primitive, on l'évalue entre deux nombres, on fait tendre une borne vers l'infini. Trois gestes, toujours les mêmes.

AttentionLa seule borne infinie

Une phrase du programme délimite tout le chapitre : « Les intégrales généralisées en un point réel sont hors-programme. »

Autrement dit : on ne rencontrera jamais ici une fonction qui explose au bord d'un segment, comme $\frac{1}{t}$ au voisinage de $0$ . Les seules bornes délicates sont $- \infty$ et $+ \infty$ ; partout ailleurs, la fonction reste sage. Et conformément au programme, « tout excès de technicité est exclu ».

7.1 Une aire sans fin, et pourtant finie

Prenons $f (t) = e^{- t}$ sur $[0, + \infty [$ . On sait calculer l'aire sous la courbe entre $0$ et n'importe quel nombre $x$ : une primitive de $e^{- t}$ est $- e^{- t}$ , donc

$\int_{0}^{x} e^{- t} d t = [- e^{- t}]_{0}^{x} = - e^{- x} + 1 = 1 - e^{- x} .$

Le nombre $e^{- x}$ devient minuscule dès que $x$ grandit. L'aire, elle, ne dépasse jamais $1$ — et s'en approche autant qu'on veut.

Définition 7.1Intégrale sur un intervalle non borné à droite

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, + \infty [$ . On dit que l'intégrale $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ converge lorsque

$x \to + \infty lim \int_{a}^{x} f (t) d t$

existe et est finie. Dans ce cas on pose

$\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t = x \to + \infty lim \int_{a}^{x} f (t) d t .$

Si cette limite n'existe pas, ou vaut $\pm \infty$ , on dit que l'intégrale diverge : le symbole $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ ne désigne alors aucun nombre.

ImportantLa méthode, en trois gestes

Pour étudier $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ :

Une primitive. Trouver $F$ telle que $F^{'} = f$ sur $[a, + \infty [$ .
Sur un segment. Écrire $\int_{a}^{x} f (t) d t = F (x) - F (a)$ , pour $x > a$ .
La limite. Faire tendre $x$ vers $+ \infty$ et conclure : limite finie $\Rightarrow$ convergence, et c'est la valeur.

On n'écrit jamais $\int_{a}^{+ \infty}$ avant d'avoir fait le troisième geste : tant que la limite n'est pas connue, ce symbole n'a pas de sens.

Exemple 7.2L'intégrale de référence de tout le livre

Soit $λ > 0$ . Une primitive de $e^{- λ t}$ est $- \frac{1}{λ} e^{- λ t}$ , donc pour $x > 0$ :

$\int_{0}^{x} λ e^{- λ t} d t = [- e^{- λ t}]_{0}^{x} = 1 - e^{- λ x} .$

Comme $λ > 0$ , $e^{- λ x} \to 0$ quand $x \to + \infty$ . L'intégrale converge et

$\int_{0}^{+ \infty} λ e^{- λ t} d t = 1.$

Ce $1$ n'est pas une coïncidence : au chapitre suivant, $λ e^{- λ t}$ sera une densité, et cette aire totale de $1$ sera la probabilité de l'événement certain.

Exemple 7.3Deux fonctions qui se ressemblent, deux destins opposés

Sur $[1, + \infty [$ , comparons $\frac{1}{t}$ et $\frac{1}{t ^{2}}$ .

Pour $\frac{1}{t ^{2}}$ . Une primitive est $- \frac{1}{t}$ , donc $\int_{1}^{x} \frac{d t}{t ^{2}} = 1 - \frac{1}{x} x \to + \infty 1$ . L'intégrale converge et vaut $1$ .

Pour $\frac{1}{t}$ . Une primitive est $ln t$ , donc $\int_{1}^{x} \frac{d t}{t} = ln x x \to + \infty + \infty$ . L'intégrale diverge.

Les deux courbes tendent vers $0$ ; l'une le fait assez vite pour que l'aire reste finie, l'autre non. Tendre vers zéro ne suffit pas.

AttentionCe que l'on ne fera pas

On ne dispose ici d'aucun critère de comparaison : le programme ne demande que le calcul par primitive suivi d'un passage à la limite. Écrire « $\frac{1}{t ^{2} + 1} \leq \frac{1}{t ^{2}}$ donc ça converge » n'est pas la méthode attendue en ECT — et n'est pas au programme.

Conséquence pratique : toutes les fonctions rencontrées dans ce livre ont une primitive explicite. Si l'on n'en trouve pas, c'est qu'on s'est trompé de chemin.

7.2 Les autres bornes infinies

Définition 7.4Intégrale sur un intervalle non borné à gauche

Soit $f$ continue sur $] - \infty, b]$ . L'intégrale $\int_{- \infty}^{b} f (t) d t$ converge lorsque $x \to - \infty lim \int_{x}^{b} f (t) d t$ existe et est finie ; elle vaut alors cette limite.

Exemple 7.5Une aire à gauche

Pour $x < 0$ : $\int_{x}^{0} e^{t} d t = [e^{t}]_{x}^{0} = 1 - e^{x}$ . Quand $x \to - \infty$ , $e^{x} \to 0$ , donc

$\int_{- \infty}^{0} e^{t} d t = 1.$

Le raisonnement est le même qu'à droite, au sens de la limite près : c'est maintenant la borne basse qui s'échappe.

Définition 7.6Intégrale sur la droite réelle entière

Soit $f$ continue sur $R$ . On dit que $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t$ converge lorsque les deux intégrales

$\int_{- \infty}^{0} f (t) d t et \int_{0}^{+ \infty} f (t) d t$

convergent séparément. Leur somme est alors, par définition, la valeur de $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t$ .

AttentionLes deux moitiés se traitent séparément

Il ne faut pas écrire $lim_{x \to + \infty} \int_{- x}^{x} f (t) d t$ : faire grandir les deux bornes en même temps peut faire apparaître une limite là où l'intégrale diverge. On coupe en $0$ (ou en n'importe quel réel), et l'on traite les deux morceaux l'un après l'autre.

Si l'un des deux diverge, l'affaire est close : l'intégrale sur $R$ diverge, et il est inutile de calculer l'autre.

Exemple 7.7Sur la droite entière

Calculons $\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{2} e^{- ∣ t ∣} d t$ .

À droite. Pour $t \geq 0$ , $∣ t ∣ = t$ , et $\int_{0}^{x} \frac{1}{2} e^{- t} d t = \frac{1}{2} (1 - e^{- x}) x \to + \infty \frac{1}{2}$ .

À gauche. Pour $t \leq 0$ , $∣ t ∣ = - t$ , et $\int_{x}^{0} \frac{1}{2} e^{t} d t = \frac{1}{2} (1 - e^{x}) x \to - \infty \frac{1}{2}$ .

Les deux convergent, donc l'intégrale sur $R$ converge et vaut $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

7.3 Les règles de calcul

Proposition 7.8Linéarité, Chasles, positivité

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, + \infty [$ dont les intégrales convergent, et $α, β$ deux réels. Alors :

Linéarité. $\int_{a}^{+ \infty} (α f + β g)$ converge et vaut $α \int_{a}^{+ \infty} f + β \int_{a}^{+ \infty} g$ .
Chasles. Pour tout $c \geq a$ , $\int_{a}^{+ \infty} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{+ \infty} f$ , les deux membres convergeant en même temps.
Positivité. Si $f \geq 0$ sur $[a, + \infty [$ , alors $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t \geq 0$ .

Ces règles sont admises : elles s'obtiennent en écrivant celles du segment $[a, x]$ , déjà connues, puis en passant à la limite.

iRemarqueÀ quoi sert vraiment Chasles ici

Chasles est l'outil des fonctions définies par morceaux — et toutes les densités du chapitre suivant le sont. Une fonction nulle avant $0$ et égale à $λ e^{- λ t}$ après verra son intégrale sur $R$ se couper en deux : un morceau nul, un morceau à calculer.

Exemple 7.9Une intégration par parties, puis une limite

Calculons $\int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t$ .

Sur le segment. Posons $u (t) = t$ et $v^{'} (t) = e^{- t}$ , donc $u^{'} (t) = 1$ et $v (t) = - e^{- t}$ . L'intégration par parties donne, pour $x > 0$ :

$\int_{0}^{x} t e^{- t} d t = [- t e^{- t}]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} e^{- t} d t = - x e^{- x} + 1 - e^{- x} .$

La limite. Par croissances comparées, $x e^{- x} \to 0$ ; et $e^{- x} \to 0$ . Donc l'intégrale converge et

$\int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t = 1.$

On retiendra l'ordre des gestes : d'abord l'intégration par parties sur un segment, ensuite la limite. Jamais l'inverse.

Python : La troncature, vue de près


from math import exp

def aire(A):
    # primitive de e^(-t) : -e^(-t)
    return -exp(-A) + exp(0)

for A in [1, 5, 10, 20, 40]:
    print(A, "%.12f" % aire(A))
# 1 0.632120558829
# 5 0.993262053001
# 10 0.999954600070
# 20 0.999999997939
# 40 1.000000000000

À $A = 40$ , l'affichage montre $1$ : l'écart, $e^{- 40}$ , est plus petit que ce que la machine sait écrire. Elle corrobore la limite ; c'est le calcul de primitive, lui seul, qui la démontre.

7.4 Ce que tout cela prépare

Proposition 7.10Une fonction nulle en dehors d'un segment

Soit $f$ continue sur $R$ sauf peut-être en un nombre fini de points, nulle en dehors du segment $[a, b]$ . Alors $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t$ converge et

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t .$

En effet, par Chasles, les deux morceaux extérieurs valent $0$ .

AttentionUn mot que l'on n'emploiera pas

Les fonctions ci-dessus portent un nom dans les manuels de mathématiques générales, mais le programme d'ECT tranche : « On se limitera en pratique à des fonctions continues par morceaux, cette notion étant elle-même hors-programme. »

On travaillera donc toujours sur ce type de fonctions — un nombre fini de recollements, chacun continu — sans jamais en faire un objet d'étude. Le programme ajoute d'ailleurs : « Aucune difficulté théorique ne sera soulevée. »

Exemple 7.11La queue d'une exponentielle

Soit $λ > 0$ et $a \geq 0$ . Alors

$\int_{a}^{x} λ e^{- λ t} d t = [- e^{- λ t}]_{a}^{x} = e^{- λa} - e^{- λ x} x \to + \infty e^{- λa} .$

Donc $\int_{a}^{+ \infty} λ e^{- λ t} d t = e^{- λa}$ .

Avec $λ = \frac{1}{3}$ et $a = 3$ : l'aire au-delà de $3$ vaut $e^{- 1} \approx 0, 368$ . C'est, littéralement, la probabilité qu'un matériel de durée de vie moyenne $3$ ans dépasse ses $3$ ans — on le démontrera au chapitre $9$ .

ImportantLe pont vers les probabilités

Retenir trois formes, qui reviendront à chaque page du chapitre $9$ :

$\int_{0}^{+ \infty} λ e^{- λ t} d t = 1, \int_{a}^{+ \infty} λ e^{- λ t} d t = e^{- λa}, \int_{0}^{+ \infty} t λ e^{- λ t} d t = \frac{1}{λ} .$

La première dira « c'est une densité », la deuxième « voici $P (X > a)$ », la troisième « voici l'espérance ». Tout le chapitre $9$ tient dans ces trois lignes, plus la loi normale.

Python : Deux convergences, et une divergence


from scipy.integrate import quad
from math import inf, exp

I1 = quad(lambda t: t * exp(-t), 0, inf)[0]
I2 = quad(lambda t: 1 / t**2, 1, inf)[0]
print(round(I1, 10), round(I2, 10))
# 1.0 1.0

for A in [10, 100, 10**4, 10**8]:
    print(A, round(quad(lambda t: 1 / t, 1, A)[0], 4))
# 10 2.3026
# 100 4.6052
# 10000 9.2103
# 100000000 18.4207

La machine confirme les deux valeurs $1$ . Et sur la troisième ligne, elle montre ce qu'est une divergence lente : passer de $1 0^{4}$ à $1 0^{8}$ ne double même pas l'aire — mais rien ne l'arrête.

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