Variables aléatoires à densité

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 · prépa ECT, 2e année

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Une variable aléatoire discrète prend ses valeurs une par une : $0$ , $1$ , $2$ , … Mais la durée de vie d'une machine, le délai d'une livraison, la masse d'une pièce ne prennent pas des valeurs isolées : elles balaient tout un intervalle. Pour ces grandeurs-là, une probabilité ne se lit plus sur un diagramme en bâtons, mais comme une aire sous une courbe. C'est exactement ce que le chapitre précédent a préparé.

AttentionCe que le programme demande, et ce qu'il n'exige pas

Deux phrases encadrent tout le chapitre : « Le passage du cas discret au cas continu n'est pas explicité. On se limitera à des calculs de probabilités du type $P ([X \in I])$ , où $I$ est un intervalle de $R$ . » et « Aucune difficulté théorique ne sera soulevée. »

On ne cherchera donc jamais à justifier le passage du discret au continu : on l'illustre, on l'admet, et l'on calcule des aires.

8.1 D'un diagramme en bâtons à une courbe

Reprenons les durées de vie, en années, d'un lot de machines. On peut les classer par tranches d'un an, puis de six mois, puis de plus en plus fin. À chaque fois, on choisit la hauteur des barres de manière que l'aire de chaque barre soit la proportion de la classe. Le contour de l'histogramme se rapproche alors d'une courbe, et l'aire totale reste la même.

iRemarquePourquoi diviser par la largeur de la classe

Sur la figure, la première classe d'un an regroupe $39, 35 %$ des machines et la barre monte à $0, 3935$ ; la première classe de six mois n'en regroupe plus que $22, 12 %$ , et pourtant la barre monte à $0, 4424$ .

Il n'y a pas de contradiction : la hauteur est la proportion divisée par la largeur, de sorte que ce soit l'aire qui porte la proportion. C'est la seule convention pour laquelle l'histogramme ne s'écrase pas quand on affine, et donc la seule qui admette une courbe limite.

ImportantLe changement de point de vue

Dans le cas discret, on lit une probabilité sur une hauteur de bâton. Ici, on la lit sur une aire. Une conséquence saute aux yeux : la valeur $f (t)$ n'est pas une probabilité — elle peut d'ailleurs dépasser $1$ . Seules les aires sont des probabilités.

8.2 Densité de probabilité

Définition 8.1Densité de probabilité

Une fonction $f$ définie sur $R$ est une densité de probabilité lorsque :

$f$ est positive sur $R$ ;
$f$ est continue sur $R$ , éventuellement privé d'un nombre fini de points ;
$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t$ converge et vaut $1$ .

AttentionUne expression que l'on n'emploiera pas

Les fonctions ci-dessus portent un nom dans les manuels de mathématiques générales, mais le programme d'ECT est net : « On se limitera en pratique à des fonctions continues par morceaux, cette notion étant elle-même hors-programme. »

On travaillera donc toujours sur ce type de fonctions — un nombre fini de recollements, chacun continu — sans jamais en faire un objet d'étude.

Exemple 8.2Une densité en triangle

Soit $f (t) = \frac{t}{2}$ pour $t \in [0, 2]$ , et $f (t) = 0$ ailleurs.

Positive : oui, car $t \geq 0$ sur $[0, 2]$ .

Continue sauf en un point : oui ; elle saute de $1$ à $0$ en $t = 2$ .

Aire totale : par Chasles, les morceaux extérieurs sont nuls, et

$\int_{0}^{2} \frac{t}{2} d t = [\frac{t ^{2}}{4}]_{0}^{2} = \frac{4}{4} = 1.$

C'est donc bien une densité. Ce sera notre exemple de référence.

Définition 8.3Variable aléatoire à densité

Une variable aléatoire $X$ admet une densité $f$ lorsque sa fonction de répartition $F_{X}$ s'écrit

$F_{X} (x) = P ([X \leq x]) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t pour tout x \in R,$

où $f$ est une densité de probabilité. On dit alors que $X$ est une variable aléatoire à densité.

◆Théorème 8.4La probabilité d'un intervalle est une aire

Si $X$ admet la densité $f$ , alors pour tous réels $a \leq b$ :

$P ([a \leq X \leq b]) = \int_{a}^{b} f (t) d t = F_{X} (b) - F_{X} (a) .$

ImportantUn point ne pèse rien

Si $X$ est à densité, alors pour tout réel $a$ :

$P ([X = a]) = \int_{a}^{a} f (t) d t = 0.$

Par conséquent, les quatre écritures $P (a \leq X \leq b)$ , $P (a < X \leq b)$ , $P (a \leq X < b)$ et $P (a < X < b)$ donnent le même nombre : ouvrir ou fermer les crochets ne change rien.

C'est la différence la plus visible avec le cas discret, où $P (X = k)$ était justement l'objet de tous les calculs.

8.3 La fonction de répartition

Proposition 8.5Ce que l'on peut toujours dire de

F_{X}

Soit $X$ une variable aléatoire à densité $f$ . Alors :

$F_{X}$ est croissante sur $R$ et à valeurs dans $[0, 1]$ ;
$x \to - \infty lim F_{X} (x) = 0$ et $x \to + \infty lim F_{X} (x) = 1$ ;
$F_{X}$ est continue sur $R$ ;
en tout point où $f$ est continue, $F_{X}$ est dérivable et $F_{X}^{'} (x) = f (x)$ .

Proposition 8.6Les quatre lectures d'une fonction de répartition

Soit $X$ à densité, de fonction de répartition $F_{X}$ , et $a \leq b$ des réels.

$P (X \leq a) = F_{X} (a), P (X > a) = 1 - F_{X} (a),$

$P (a \leq X \leq b) = F_{X} (b) - F_{X} (a), P (X = a) = 0.$

Ces quatre égalités suffisent à traiter toutes les questions du programme, qui se limite aux intervalles.

Exemple 8.7Un délai de livraison

Un fournisseur livre en $X$ jours, où $X$ a pour densité $f (t) = 0, 5 e^{- 0, 5 t}$ pour $t \geq 0$ et $0$ pour $t < 0$ . C'est la courbe du troisième panneau de la première figure.

Sa répartition. Pour $x \geq 0$ : $F_{X} (x) = \int_{0}^{x} 0, 5 e^{- 0, 5 t} d t = 1 - e^{- 0, 5 x}$ .

Livraison en un jour ou moins. $P (X \leq 1) = 1 - e^{- 0, 5} \approx 0, 393$ , soit $39, 3 %$ .

Retard de plus de trois jours. $P (X > 3) = 1 - F_{X} (3) = e^{- 1, 5} \approx 0, 223$ .

Entre un et trois jours. $P (1 \leq X \leq 3) = e^{- 0, 5} - e^{- 1, 5} \approx 0, 606 - 0, 223 = 0, 383$ .

Contrôle. Les trois nombres somment à $0, 393 + 0, 383 + 0, 223 = 0, 999$ : les trois cas se partagent bien la totalité (l'écart est l'arrondi).

ImportantLa dérivée, dans les deux sens

Le dernier point est l'outil de travail du chapitre : il se lit dans les deux sens.

De $f$ vers $F_{X}$ : on intègre, morceau par morceau.
De $F_{X}$ vers $f$ : on dérive, morceau par morceau — c'est ainsi qu'on trouvera la densité d'une transformée $a X + b$ ou $X^{2}$ .

Exemple 8.8La fonction de répartition du triangle

Avec $f (t) = \frac{t}{2}$ sur $[0, 2]$ et $0$ ailleurs :

Si $x < 0$ : $F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} 0 d t = 0$ .

Si $0 \leq x \leq 2$ : $F_{X} (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{2} d t = [\frac{t ^{2}}{4}]_{0}^{x} = \frac{x ^{2}}{4}$ .

Si $x > 2$ : $F_{X} (x) = \int_{0}^{2} \frac{t}{2} d t = 1$ .

On vérifie la continuité aux recollements : en $0$ , $\frac{0}{4} = 0$ ; en $2$ , $\frac{4}{4} = 1$ . Et l'on retrouve $P (0, 5 \leq X \leq 1, 5) = \frac{2 , 25}{4} - \frac{0 , 25}{4} = 0, 5$ .

8.4 Espérance, variance, écart-type

Définition 8.9Espérance

Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ . Lorsque l'intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} t f (t) d t$ converge, on appelle espérance de $X$ le nombre

$E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} t f (t) d t .$

Définition 8.10Variance et écart-type

Lorsque $\int_{- \infty}^{+ \infty} t^{2} f (t) d t$ converge, on pose

$V (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} t^{2} f (t) d t - (E (X))^{2}, σ (X) = V (X) .$

La première égalité est la formule de Kœnig-Huygens, déjà rencontrée dans le cas discret : la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

Exemple 8.11Espérance et variance du triangle

Avec $f (t) = \frac{t}{2}$ sur $[0, 2]$ :

$E (X) = \int_{0}^{2} t \cdot \frac{t}{2} d t = [\frac{t ^{3}}{6}]_{0}^{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1, 333.$

$\int_{0}^{2} t^{2} \cdot \frac{t}{2} d t = [\frac{t ^{4}}{8}]_{0}^{2} = \frac{16}{8} = 2, donc V (X) = 2 - (\frac{4}{3})^{2} = \frac{2}{9} \approx 0, 222.$

Enfin $σ (X) = 2 /3 \approx 0, 471$ .

iRemarqueQuand l'espérance n'existe pas

La définition commence par « lorsque l'intégrale converge » : ce n'est pas une précaution de style. Pour $f (t) = \frac{1}{t ^{2}}$ sur $[1, + \infty [$ , qui est bien une densité, on a $\int_{1}^{x} t \cdot \frac{1}{t ^{2}} d t = ln x$ , qui diverge : cette variable n'a pas d'espérance.

Aucune des trois lois du chapitre suivant n'est dans ce cas : toutes ont une espérance et une variance.

Python : Une densité, vérifiée puis résumée


from scipy.integrate import quad

f = lambda t: t / 2        # densite sur [0, 2], nulle ailleurs

aire = quad(f, 0, 2)[0]
esp = quad(lambda t: t * f(t), 0, 2)[0]
m2 = quad(lambda t: t**2 * f(t), 0, 2)[0]
print(round(aire, 10), round(esp, 6), round(m2 - esp**2, 6))
# 1.0 1.333333 0.222222

La machine retrouve $1$ , $\frac{4}{3}$ et $\frac{2}{9}$ . Elle ne démontre rien : ce sont les trois primitives $\frac{t ^{2}}{4}$ , $\frac{t ^{3}}{6}$ et $\frac{t ^{4}}{8}$ qui le font. Mais une erreur de calcul se voit immédiatement.

8.5 La densité d'une transformée

ImportantLe seul chemin : passer par la fonction de répartition

Pour trouver la densité de $Y = a X + b$ ou de $Y = X^{2}$ , on ne transforme jamais la densité directement. On procède en trois temps :

écrire $F_{Y} (y) = P ([Y \leq y])$ et traduire la condition en une condition sur $X$ ;
exprimer le résultat à l'aide de $F_{X}$ ;
dériver : $f_{Y} = F_{Y}^{'}$ .

Le programme le confirme : « Sur des exemples, détermination d'une densité de $a X + b$ ou de $X^{2}$ . » Sur des exemples — jamais de formule générale à retenir.

Exemple 8.12Doubler une variable

Soit $X$ de densité $f (t) = \frac{t}{2}$ sur $[0, 2]$ , et $Y = 2 X$ .

Répartition. Pour tout réel $y$ : $F_{Y} (y) = P (2 X \leq y) = P (X \leq \frac{y}{2}) = F_{X} (\frac{y}{2})$ .

Explicitement. Pour $0 \leq y \leq 4$ : $F_{Y} (y) = \frac{( y /2 ) ^{2}}{4} = \frac{y ^{2}}{16}$ ; $F_{Y} (y) = 0$ avant, $1$ après.

Dérivation. Pour $0 \leq y \leq 4$ : $f_{Y} (y) = \frac{2 y}{16} = \frac{y}{8}$ , et $0$ ailleurs.

Contrôle. $\int_{0}^{4} \frac{y}{8} d y = [\frac{y ^{2}}{16}]_{0}^{4} = 1$ : c'est bien une densité. Et $E (Y) = \int_{0}^{4} y \cdot \frac{y}{8} d y = \frac{8}{3} = 2 \times \frac{4}{3}$ , comme attendu.

Exemple 8.13Le carré d'une variable

Soit $X$ de densité $g (t) = 1$ sur $[1, 2]$ et $0$ ailleurs, et $Y = X^{2}$ .

Répartition. $X$ ne prend que des valeurs de $[1, 2]$ , donc $Y$ celles de $[1, 4]$ . Pour $1 \leq y \leq 4$ , et comme $X > 0$ :

$F_{Y} (y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq y) = y - 1.$

Dérivation. $f_{Y} (y) = \frac{1}{2 y}$ sur $[1, 4]$ , et $0$ ailleurs.

Contrôle. $\int_{1}^{4} \frac{d y}{2 y} = [y]_{1}^{4} = 2 - 1 = 1$ .

Espérance. $E (Y) = \int_{1}^{4} y \cdot \frac{1}{2 y} d y = [\frac{y ^{3/2}}{3}]_{1}^{4} = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2, 333$ , qui est bien $\int_{1}^{2} t^{2} d t$ .

Python : Une simulation qui corrobore


import random
from math import sqrt

random.seed(2026)
n = 200000
ech = [2 * sqrt(random.random()) for _ in range(n)]
moy = sum(ech) / n
var = sum((x - moy)**2 for x in ech) / n
print(round(moy, 4), round(var, 4))
# 1.3313 0.2225
print(sum(1 for x in ech if 0.5 <= x <= 1.5) / n)
# 0.500255

La ligne 2*sqrt(u) résout $\frac{t ^{2}}{4} = u$ : elle transforme un tirage uniforme sur $[0, 1]$ en un tirage de densité $\frac{t}{2}$ . On retrouve $1, 333$ , $0, 222$ et $0, 5$ — corroborés, non démontrés.

iRemarqueCe que le chapitre suivant ajoute

Tout ce qui précède vaut pour n'importe quelle densité. Le chapitre $9$ ne change pas les règles : il fixe trois formes de densité — le rectangle, la décroissance exponentielle, la cloche — dont on retient une fois pour toutes la fonction de répartition, l'espérance et la variance.

Les gestes, eux, restent ceux de ce chapitre : une probabilité est une aire, une aire se calcule par une primitive, et $P (X = a)$ vaut toujours $0$ .

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