Variables aléatoires à densité

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe en cloche d'une loi normale, avec l'aire comprise entre μ − σ et μ + σ.

Une variable aléatoire discrète prend ses valeurs une par une : $0$ , $1$ , $2$ , … Mais la durée de vie d'une machine, le délai d'une livraison, la masse d'une pièce ne prennent pas des valeurs isolées : elles balaient tout un intervalle. Pour ces grandeurs-là, une probabilité ne se lit plus sur un diagramme en bâtons, mais comme une aire sous une courbe. C'est exactement ce que le chapitre précédent a préparé.

AttentionCe que le programme demande, et ce qu'il n'exige pas

Deux phrases encadrent tout le chapitre : « Le passage du cas discret au cas continu n'est pas explicité. On se limitera à des calculs de probabilités du type $P ([X \in I])$ , où $I$ est un intervalle de $R$ . » et « Aucune difficulté théorique ne sera soulevée. »

On ne cherchera donc jamais à justifier le passage du discret au continu : on l'illustre, on l'admet, et l'on calcule des aires.

8.1 D'un diagramme en bâtons à une courbe

Reprenons les durées de vie, en années, d'un lot de machines. On peut les classer par tranches d'un an, puis de six mois, puis de plus en plus fin. À chaque fois, on choisit la hauteur des barres de manière que l'aire de chaque barre soit la proportion de la classe. Le contour de l'histogramme se rapproche alors d'une courbe, et l'aire totale reste la même.

iRemarquePourquoi diviser par la largeur de la classe

Sur la figure, la première classe d'un an regroupe $39, 35 %$ des machines et la barre monte à $0, 3935$ ; la première classe de six mois n'en regroupe plus que $22, 12 %$ , et pourtant la barre monte à $0, 4424$ .

Il n'y a pas de contradiction : la hauteur est la proportion divisée par la largeur, de sorte que ce soit l'aire qui porte la proportion. C'est la seule convention pour laquelle l'histogramme ne s'écrase pas quand on affine, et donc la seule qui admette une courbe limite.

ImportantLe changement de point de vue

Dans le cas discret, on lit une probabilité sur une hauteur de bâton. Ici, on la lit sur une aire. Une conséquence saute aux yeux : la valeur $f (t)$ n'est pas une probabilité — elle peut d'ailleurs dépasser $1$ . Seules les aires sont des probabilités.

8.2 Densité de probabilité

Définition 8.1Densité de probabilité

Une fonction $f$ définie sur $R$ est une densité de probabilité lorsque :

$f$ est positive sur $R$ ;
$f$ est continue sur $R$ , éventuellement privé d'un nombre fini de points ;
$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t$ converge et vaut $1$ .

AttentionUne expression que l'on n'emploiera pas

Les fonctions ci-dessus portent un nom dans les manuels de mathématiques générales, mais le programme d'ECT est net : « On se limitera en pratique à des fonctions continues par morceaux, cette notion étant elle-même hors-programme. »

On travaillera donc toujours sur ce type de fonctions — un nombre fini de recollements, chacun continu — sans jamais en faire un objet d'étude.

Exemple 8.2Une densité en triangle

Soit $f (t) = \frac{t}{2}$ pour $t \in [0, 2]$ , et $f (t) = 0$ ailleurs.

Positive : oui, car $t \geq 0$ sur $[0, 2]$ .

Continue sauf en un point : oui ; elle saute de $1$ à $0$ en $t = 2$ .

Aire totale : par Chasles, les morceaux extérieurs sont nuls, et

$\int_{0}^{2} \frac{t}{2} d t = [\frac{t ^{2}}{4}]_{0}^{2} = \frac{4}{4} = 1.$

C'est donc bien une densité. Ce sera notre exemple de référence.

Définition 8.3Variable aléatoire à densité

Une variable aléatoire $X$ admet une densité $f$ lorsque sa fonction de répartition $F_{X}$ s'écrit

$F_{X} (x) = P ([X \leq x]) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t pour tout x \in R,$

où $f$ est une densité de probabilité. On dit alors que $X$ est une variable aléatoire à densité.

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre