Lois à densité usuelles

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe en cloche d'une loi normale, avec l'aire comprise entre μ − σ et μ + σ.

Le chapitre précédent a posé les règles ; celui-ci fixe trois formes. Un rectangle, quand aucune valeur d'un intervalle n'est privilégiée. Une décroissance exponentielle, quand on attend un événement qui peut survenir à tout instant. Une cloche, quand une grandeur résulte de l'accumulation de beaucoup de petits aléas. Trois densités, trois fonctions de répartition, trois couples espérance-variance : c'est tout le programme de ce chapitre.

AttentionChaque loi vient avec sa situation

Le programme est explicite : « Chacune des lois usuelles sera illustrée par un exemple concret d'une situation qu'elle modélise. »

Une loi n'est donc pas une formule à retenir, mais une réponse à une question de gestion : à quelle heure arrive une livraison, combien de temps tient un matériel, comment se répartissent les masses d'un lot de pièces. Chaque section en traite une.

9.1 La loi uniforme

Définition 9.1Loi uniforme sur un segment

Soient $a < b$ deux réels. La variable $X$ suit la loi uniforme sur $[a, b]$ , notée $X ↪ U [a, b]$ , lorsqu'elle admet pour densité

$f (t) = \frac{1}{b - a} si t \in [a, b], f (t) = 0 sinon.$

Proposition 9.2Fonction de répartition de la loi uniforme

Si $X ↪ U [a, b]$ , alors

$F_{X} (x) = 0 si x < a, F_{X} (x) = \frac{x - a}{b - a} si a \leq x \leq b, F_{X} (x) = 1 si x > b .$

En particulier, pour $a \leq α \leq β \leq b$ : $P (α \leq X \leq β) = \frac{β - α}{b - a}$ : la probabilité est le rapport des longueurs.

◆Théorème 9.3Espérance et variance de la loi uniforme

Si $X ↪ U [a, b]$ , alors

$E (X) = \frac{a + b}{2}, V (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}, σ (X) = \frac{b - a}{12} .$

Démonstration

La densité est nulle hors de $[a, b]$ , donc

$E (X) = \int_{a}^{b} \frac{t}{b - a} d t = \frac{1}{b - a} [\frac{t ^{2}}{2}]_{a}^{b} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 ( b - a )} = \frac{a + b}{2} .$

De même $\int_{a}^{b} \frac{t ^{2}}{b - a} d t = \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3 ( b - a )} = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}$ , d'où

$V (X) = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3} - \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{4 a ^{2} + 4 ab + 4 b ^{2} - 3 a ^{2} - 6 ab - 3 b ^{2}}{12} = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} .$

Exemple 9.4La livraison annoncée entre 8 h et 10 h

Un transporteur promet un passage entre $8$ h et $10$ h, sans autre précision. On modélise l'heure d'arrivée par $X ↪ U [8, 10]$ .

Heure moyenne. $E (X) = \frac{8 + 10}{2} = 9$ , soit $9$ h.

Dispersion. $V (X) = \frac{2 ^{2}}{12} = \frac{1}{3} \approx 0, 333$ , donc $σ (X) = \frac{1}{3} \approx 0, 577$ heure, soit environ $35$ minutes.

Avant 8 h 30. $P (X \leq 8, 5) = \frac{8 , 5 - 8}{2} = 0, 25$ .

Entre 9 h et 9 h 30. $P (9 \leq X \leq 9, 5) = \frac{0 , 5}{2} = 0, 25$ également : deux intervalles de même longueur ont la même probabilité, où qu'ils se trouvent dans la fenêtre.

9.2 La loi exponentielle

Définition 9.5Loi exponentielle

Soit $λ > 0$ . La variable $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ , notée $X ↪ E (λ)$ , lorsqu'elle admet pour densité

$f (t) = λ e^{- λ t} si t \geq 0, f (t) = 0 si t < 0.$

Le chapitre $7$ a vérifié que $\int_{0}^{+ \infty} λ e^{- λ t} d t = 1$ : c'est bien une densité.

Exercices du chapitre

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