Lois à densité usuelles

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 · prépa ECT, 2e année

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Le chapitre précédent a posé les règles ; celui-ci fixe trois formes. Un rectangle, quand aucune valeur d'un intervalle n'est privilégiée. Une décroissance exponentielle, quand on attend un événement qui peut survenir à tout instant. Une cloche, quand une grandeur résulte de l'accumulation de beaucoup de petits aléas. Trois densités, trois fonctions de répartition, trois couples espérance-variance : c'est tout le programme de ce chapitre.

AttentionChaque loi vient avec sa situation

Le programme est explicite : « Chacune des lois usuelles sera illustrée par un exemple concret d'une situation qu'elle modélise. »

Une loi n'est donc pas une formule à retenir, mais une réponse à une question de gestion : à quelle heure arrive une livraison, combien de temps tient un matériel, comment se répartissent les masses d'un lot de pièces. Chaque section en traite une.

9.1 La loi uniforme

Définition 9.1Loi uniforme sur un segment

Soient $a < b$ deux réels. La variable $X$ suit la loi uniforme sur $[a, b]$ , notée $X ↪ U [a, b]$ , lorsqu'elle admet pour densité

$f (t) = \frac{1}{b - a} si t \in [a, b], f (t) = 0 sinon.$

Proposition 9.2Fonction de répartition de la loi uniforme

Si $X ↪ U [a, b]$ , alors

$F_{X} (x) = 0 si x < a, F_{X} (x) = \frac{x - a}{b - a} si a \leq x \leq b, F_{X} (x) = 1 si x > b .$

En particulier, pour $a \leq α \leq β \leq b$ : $P (α \leq X \leq β) = \frac{β - α}{b - a}$ : la probabilité est le rapport des longueurs.

◆Théorème 9.3Espérance et variance de la loi uniforme

Si $X ↪ U [a, b]$ , alors

$E (X) = \frac{a + b}{2}, V (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}, σ (X) = \frac{b - a}{12} .$

Démonstration

La densité est nulle hors de $[a, b]$ , donc

$E (X) = \int_{a}^{b} \frac{t}{b - a} d t = \frac{1}{b - a} [\frac{t ^{2}}{2}]_{a}^{b} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 ( b - a )} = \frac{a + b}{2} .$

De même $\int_{a}^{b} \frac{t ^{2}}{b - a} d t = \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3 ( b - a )} = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}$ , d'où

$V (X) = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3} - \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{4 a ^{2} + 4 ab + 4 b ^{2} - 3 a ^{2} - 6 ab - 3 b ^{2}}{12} = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} .$

Exemple 9.4La livraison annoncée entre 8 h et 10 h

Un transporteur promet un passage entre $8$ h et $10$ h, sans autre précision. On modélise l'heure d'arrivée par $X ↪ U [8, 10]$ .

Heure moyenne. $E (X) = \frac{8 + 10}{2} = 9$ , soit $9$ h.

Dispersion. $V (X) = \frac{2 ^{2}}{12} = \frac{1}{3} \approx 0, 333$ , donc $σ (X) = \frac{1}{3} \approx 0, 577$ heure, soit environ $35$ minutes.

Avant 8 h 30. $P (X \leq 8, 5) = \frac{8 , 5 - 8}{2} = 0, 25$ .

Entre 9 h et 9 h 30. $P (9 \leq X \leq 9, 5) = \frac{0 , 5}{2} = 0, 25$ également : deux intervalles de même longueur ont la même probabilité, où qu'ils se trouvent dans la fenêtre.

9.2 La loi exponentielle

Définition 9.5Loi exponentielle

Soit $λ > 0$ . La variable $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ , notée $X ↪ E (λ)$ , lorsqu'elle admet pour densité

$f (t) = λ e^{- λ t} si t \geq 0, f (t) = 0 si t < 0.$

Le chapitre $7$ a vérifié que $\int_{0}^{+ \infty} λ e^{- λ t} d t = 1$ : c'est bien une densité.

Proposition 9.6Fonction de répartition de la loi exponentielle

Si $X ↪ E (λ)$ , alors pour $x \geq 0$ :

$F_{X} (x) = 1 - e^{- λ x}, et donc P (X > x) = e^{- λ x} .$

Pour $x < 0$ , $F_{X} (x) = 0$ .

Démonstration

Pour $x \geq 0$ , la densité est nulle avant $0$ , donc

$F_{X} (x) = \int_{0}^{x} λ e^{- λ t} d t = [- e^{- λ t}]_{0}^{x} = 1 - e^{- λ x} .$

La seconde égalité s'en déduit par passage à l'événement contraire.

◆Théorème 9.7Espérance et variance de la loi exponentielle

Si $X ↪ E (λ)$ , alors

$E (X) = \frac{1}{λ}, V (X) = \frac{1}{λ ^{2}}, σ (X) = \frac{1}{λ} .$

Démonstration

Une intégration par parties sur $[0, x]$ , avec $u (t) = t$ et $v^{'} (t) = λ e^{- λ t}$ , donne

$\int_{0}^{x} t λ e^{- λ t} d t = [- t e^{- λ t}]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} e^{- λ t} d t = - x e^{- λ x} + \frac{1}{λ} (1 - e^{- λ x}) .$

Par croissances comparées, $x e^{- λ x} \to 0$ , d'où $E (X) = \frac{1}{λ}$ . Une seconde intégration par parties donne de même $\int_{0}^{+ \infty} t^{2} λ e^{- λ t} d t = \frac{2}{λ ^{2}}$ , et $V (X) = \frac{2}{λ ^{2}} - \frac{1}{λ ^{2}} = \frac{1}{λ ^{2}}$ .

Exemple 9.8La durée de vie d'un matériel

Un atelier renouvelle des compresseurs dont la durée de vie $X$ , en années, suit $E (λ)$ avec $λ = \frac{1}{5}$ .

Durée moyenne. $E (X) = \frac{1}{λ} = 5$ ans, et $σ (X) = 5$ ans également : la dispersion est aussi grande que la moyenne.

Survie à huit ans. $P (X > 8) = e^{- 8/5} = e^{- 1, 6} \approx 0, 202$ : environ une machine sur cinq.

Panne entre deux et cinq ans. $P (2 \leq X \leq 5) = e^{- 0, 4} - e^{- 1} \approx 0, 670 - 0, 368 = 0, 302$ .

Médiane. $1 - e^{- m /5} = \frac{1}{2}$ donne $m = 5 ln 2 \approx 3, 47$ ans : la moitié des machines cassent avant trois ans et demi, alors que la moyenne est de cinq ans. Quelques très longues durées de vie tirent la moyenne vers le haut.

iRemarqueUn matériel qui ne vieillit pas

La loi exponentielle a une propriété frappante : pour $s, t \geq 0$ ,

$P_{[X > s]} ([X > s + t]) = \frac{P ( X > s + t )}{P ( X > s )} = \frac{e ^{- λ (s + t)}}{e ^{- λ s}} = e^{- λ t} = P (X > t) .$

Une machine qui a déjà tenu $s$ années a exactement les mêmes chances de tenir $t$ années de plus qu'une machine neuve. Ce modèle convient donc aux pannes accidentelles, pas à l'usure — un roulement qui s'use se modélise autrement. Ce résultat n'est pas un attendu du programme, mais il explique quand la loi est le bon outil, et quand elle ne l'est pas.

9.3 La loi normale

Définition 9.9Loi normale, ou de Laplace-Gauss

Soient $m$ un réel et $σ > 0$ . La variable $X$ suit la loi normale de paramètres $m$ et $σ^{2}$ , notée $X ↪ N (m, σ^{2})$ , lorsqu'elle admet pour densité, sur $R$ tout entier,

$f (t) = \frac{1}{σ 2 π} e^{- \frac{( t - m ) ^{2}}{2 σ ^{2}}} .$

AttentionIci, on admet

Le programme le dit en deux mots : « Résultats admis. » Aucune des trois propriétés suivantes ne se démontre au niveau d'ECT :

l'aire totale sous la cloche vaut $1$ ;
$E (X) = m$ et $V (X) = σ^{2}$ ;
la fonction $f$ ci-dessus n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

Ce dernier point est celui qui change la pratique : on ne calculera jamais une probabilité normale par une primitive. On la lira dans une table, ou on la fera calculer.

Définition 9.10Loi normale centrée réduite

La loi $N (0, 1)$ est appelée loi normale centrée réduite. Sa densité est $φ (t) = \frac{1}{2 π} e^{- t^{2} /2}$ , et sa fonction de répartition se note traditionnellement $Φ$ :

$Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{2 π} e^{- t^{2} /2} d t .$

◆Théorème 9.11Standardisation

Soit $X ↪ N (m, σ^{2})$ avec $σ > 0$ . Alors

$X^{*} = \frac{X - m}{σ} ↪ N (0, 1),$

et la réciproque est vraie. Par conséquent, pour tous réels $α \leq β$ :

$P (α \leq X \leq β) = Φ (\frac{β - m}{σ}) - Φ (\frac{α - m}{σ}) .$

ImportantUne seule table pour toutes les lois normales

C'est le théorème qui rend la loi normale utilisable : une table, celle de $Φ$ , suffit pour toutes les valeurs de $m$ et de $σ$ . On ramène toujours la question à la variable centrée réduite avant de lire quoi que ce soit.

$x$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$1, 645$	$1, 96$	$2$	$2, 5$	$3$
$Φ (x)$	$0, 5000$	$0, 6915$	$0, 8413$	$0, 9332$	$0, 9500$	$0, 9750$	$0, 9772$	$0, 9938$	$0, 9987$

Proposition 9.12La symétrie de la cloche

Pour tout réel $x$ : $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$ .

Démonstration

La densité $φ$ est paire : $φ (- t) = φ (t)$ . L'aire située à gauche de $- x$ est donc l'image miroir de l'aire située à droite de $x$ , qui vaut $1 - Φ (x)$ . D'où l'égalité.

Exemple 9.13Un contrôle de masse

Une machine remplit des sachets dont la masse $X$ , en grammes, suit $N (500; 4)$ ; ici $σ = 4 = 2$ grammes.

Dans la tolérance $\pm 4$ g.

$P (496 \leq X \leq 504) = Φ (\frac{504 - 500}{2}) - Φ (\frac{496 - 500}{2}),$

c'est-à-dire $Φ (2) - Φ (- 2) = 2Φ (2) - 1 \approx 0, 954$ .

Sachets trop lourds. $P (X > 503) = 1 - Φ (\frac{503 - 500}{2}) = 1 - Φ (1, 5) \approx 1 - 0, 9332 = 0, 0668$ .

Sachets trop légers. $P (X < 497) = Φ (- 1, 5) = 1 - Φ (1, 5) \approx 0, 0668$ : le même nombre, par symétrie.

Lecture de gestion. Environ $4, 6 %$ des sachets sortent de la tolérance $\pm 4$ g. Pour descendre sous $1 %$ , il faudrait viser $\pm 3 σ$ , donc réduire $σ$ — c'est-à-dire régler la machine, pas élargir la tolérance.

Python : La table, et la symétrie


from scipy.stats import norm

for x in [0.5, 1.0, 1.645, 1.96, 2.0]:
    print(x, round(norm.cdf(x), 4), round(norm.cdf(-x), 4))
# 0.5 0.6915 0.3085
# 1.0 0.8413 0.1587
# 1.645 0.95 0.05
# 1.96 0.975 0.025
# 2.0 0.9772 0.0228

print(round(norm.cdf(-1.2) - (1 - norm.cdf(1.2)), 12))
# 0.0

Les deux colonnes de droite somment à $1$ sur chaque ligne, et la dernière ligne affiche $0$ : la relation $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$ tient à $1 0^{- 12}$ près. On retrouve aussi les deux valeurs célèbres $1, 645$ et $1, 96$ , qui laissent $5 %$ et $2, 5 %$ à droite.

Python : Simuler les trois lois


import random
from math import log

random.seed(9)
n = 200000

unif = [8 + 2 * random.random() for _ in range(n)]
expo = [-5 * log(1 - random.random()) for _ in range(n)]
gaus = [random.gauss(500, 2) for _ in range(n)]

for nom, ech in [("U[8,10]", unif), ("E(1/5)", expo),
                 ("N(500,4)", gaus)]:
    moy = sum(ech) / n
    var = sum((x - moy)**2 for x in ech) / n
    print(nom, round(moy, 3), round(var, 3))
# U[8,10] 8.998 0.334
# E(1/5) 5.009 25.121
# N(500,4) 500.0 4.003

Les trois couples attendus sont $(9; 0, 333)$ , $(5; 25)$ et $(500; 4)$ . La ligne -5*log(1-u) résout $1 - e^{- t /5} = u$ : c'est la fonction de répartition inversée. Corroboration, non démonstration.

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