Convergences et approximations

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le théorème limite central : la loi binomiale de paramètres 20 et 0,5, en barres, et la courbe en cloche qui l'approche.

Jusqu'ici, une variable aléatoire se décrivait par sa loi. Ce chapitre change de point de vue : il demande ce qu'on peut dire d'une variable aléatoire quand on ne connaît d'elle que son espérance, ou son espérance et sa variance — autrement dit, ce que ces deux nombres, à eux seuls, garantissent.

La réponse tient en deux inégalités, celle de Markov et celle de Bienaymé-Tchebychev. Elles sont grossières, et c'est leur intérêt : elles valent pour toutes les lois. C'est ce caractère universel qui permet ensuite de démontrer le résultat central de l'année — la loi faible des grands nombres — puis, au chapitre suivant, de fabriquer un intervalle de confiance sans rien savoir de la loi observée.

AttentionDeux résultats que le programme dit non exigibles

Le programme accompagne l'inégalité de Markov et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev de la même mention : « Résultat non exigible. »

Cela ne veut pas dire qu'on peut les ignorer : elles servent partout dans le chapitre et dans le suivant, et il faut savoir les appliquer. Cela veut dire qu'on ne vous demandera pas de les restituer ni de les redémontrer pour elles-mêmes. Les démonstrations données ici sont là pour l'intelligence du résultat, pas comme un attendu.

10.1 L'inégalité de Markov

Définition 10.1Le problème posé

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs positives dont on connaît l'espérance $E (X)$ , et rien d'autre. Que peut-on dire de la probabilité que $X$ dépasse un seuil $a > 0$ ?

L'intuition est simple. Si le nombre moyen de retours quotidiens d'une boutique est $1, 75$ , il ne peut pas y avoir « souvent » des journées à $10$ retours : chaque grosse journée pèse lourd dans la moyenne, donc elle doit être rare. Mettre un chiffre sur ce « donc elle doit être rare », c'est exactement l'inégalité de Markov.

◆Théorème 10.2Inégalité de Markov

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs positives admettant une espérance. Alors

$\forall a > 0, P ([X \geq a]) \leq \frac{E ( X )}{a} .$

Démonstration

Traitons le cas d'une variable discrète finie prenant les valeurs $x_{1}, \dots, x_{r}$ , toutes positives. Par définition, $E (X) = \sum_{i = 1}^{r} x_{i} P ([X = x_{i}])$ . Tous les termes sont positifs : on ne diminue pas la somme en ne gardant que ceux pour lesquels $x_{i} \geq a$ . Or sur ces termes-là, $x_{i} \geq a$ , donc

$E (X) \geq x_{i} \geq a \sum x_{i} P ([X = x_{i}]) \geq x_{i} \geq a \sum a P ([X = x_{i}]) = a P ([X \geq a]) .$

On divise par $a > 0$ .

Exemple 10.3Un temps d'attente au service client

Le temps d'attente $T$ d'un appel, en minutes, est positif et d'espérance $4$ minutes. Sans rien savoir de plus, $P ([T \geq 20]) \leq \frac{4}{20} = 0, 2$ . Au plus $20 %$ des appelants attendent un quart d'heure ou plus. C'est une garantie contractuelle utilisable telle quelle, même si le fournisseur refuse de communiquer la loi de $T$ .

AttentionLa positivité n'est pas un détail

L'inégalité est fausse sans l'hypothèse $X \geq 0$ . Prenons $X$ qui vaut $- 100$ ou $+ 100$ avec probabilité $1/2$ chacune : alors $E (X) = 0$ , et l'inégalité de Markov prédirait $P ([X \geq 1]) \leq 0$ , alors que cette probabilité vaut $1/2$ .

La démonstration montre où l'hypothèse sert : c'est la ligne « tous les termes sont positifs, on ne diminue pas la somme en en supprimant ».

iRemarqueOn peut l'appliquer à autre chose que

X

Le programme le suggère : rien n'oblige à appliquer Markov à $X$ elle-même. Si $r \in N^{*}$ , la variable $Y = ∣ X ∣^{r}$ est positive, et Markov lui donne $P ([∣ X ∣ \geq a]) = P ([∣ X ∣^{r} \geq a^{r}]) \leq \frac{E ( ∣ X ∣ ^{r} )}{a ^{r}}$ . C'est en prenant $r = 2$ sur la variable $∣ X - E (X) ∣$ qu'on obtient la seconde inégalité du chapitre.

10.2 L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Markov ne parle que de grandes valeurs. La question vraiment utile est autre : $X$ a-t-elle des chances de tomber loin de sa moyenne, dans un sens ou dans l'autre ? Il faut pour cela une seconde information, et ce sera la variance.

Exercices du chapitre

Markov sur un temps d'attente corrigé
Markov appliqué au carré corrigé
La même question, deux inégalités corrigé
Bienaymé-Tchebychev sur un chiffre d'affaires corrigé
Retrouver la binomiale corrigé
La borne contre la vérité corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre