Estimation
Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Tous les chapitres de probabilités ont procédé dans le même sens : on se donnait une loi, et l'on en déduisait des probabilités. Ce chapitre marche à l'envers. La loi est là, mais l'un de ses paramètres est inconnu — la proportion d'électeurs favorables à une mesure, le taux de pièces défectueuses d'une chaîne, le nombre moyen de réclamations d'un service. On ne dispose que d'observations, et l'on veut remonter d'elles au paramètre.
C'est le travail de l'estimation. Il en existe deux formes : donner un seul nombre, aussi proche que possible du paramètre — c'est l'estimation ponctuelle ; ou donner un intervalle assorti d'une garantie — c'est l'intervalle de confiance. Les deux reposent entièrement sur les deux résultats du chapitre précédent.
Le programme est explicite sur le niveau attendu. Sur les intervalles de confiance : « Ce paragraphe a uniquement pour but de préciser le vocabulaire employé. […] aucune connaissance autre que ce vocabulaire n'est exigible sur les intervalles de confiance. »
Il ajoute, à propos du résultat central du chapitre : « Résultat non exigible », et « La démonstration n'est pas un attendu du programme. »
On apprend donc ici un vocabulaire et une pratique : savoir calculer une estimation, savoir écrire un intervalle, savoir dire ce qu'il garantit. Pas une théorie.
11.1 La problématique de l'estimation
Prenons l'exemple qui sert de fil conducteur au chapitre. Une commune veut connaître la proportion de ses habitants favorables à la piétonnisation du centre-ville. Interroger tout le monde coûterait trop cher : on interroge personnes tirées au hasard, et répondent oui.
On modélise le phénomène par une variable aléatoire dont la loi dépend d'un paramètre inconnu . Observer fois le phénomène revient à se donner variables aléatoires
- indépendantes (chaque observation n'influence pas les autres),
- de même loi que .
Ces variables forment un échantillon de taille . Les nombres effectivement observés sont une réalisation de cet échantillon.
sont des variables aléatoires : elles décrivent ce qu'on pourrait observer, avant l'enquête. Les sont des nombres : ce qu'on a effectivement observé, après.
Toute la difficulté du chapitre tient dans cet aller-retour. Les garanties se calculent au niveau des variables aléatoires ; les nombres, eux, sont ce qu'ils sont.
Le programme précise : « On pourra éventuellement introduire la notion d'estimateur, mais ce n'est pas un attendu du programme. »
On parlera donc simplement de la variable aléatoire et de sa réalisation, sans construire de théorie des estimateurs — ni biais, ni risque quadratique, ni convergence d'estimateurs.
11.2 Estimation ponctuelle
Soit un échantillon de même loi que , dont l'espérance est le paramètre cherché. On pose
La réalisation de observée sur l'échantillon , c'est-à-dire le nombre , est l'estimation ponctuelle du paramètre obtenue sur cet échantillon.
La justification est la loi faible des grands nombres, démontrée au chapitre précédent : et .
Autrement dit, vise juste en moyenne, et se rapproche de la cible quand grandit. Ce sont les deux qualités qu'on attend d'une estimation, et ce chapitre n'en demande pas d'autres.
Exercices du chapitre
- Une estimation ponctuelle corrigé
- Un intervalle de confiance au seuil de 95 pour cent corrigé
- Changer de seuil corrigé
- Un contrôle avant lancement corrigé
- Deux enquêtes de tailles différentes corrigé
- Moyenne et écart-type empiriques corrigé