Variables aléatoires discrètes infinies

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

Toutes les variables aléatoires rencontrées jusqu'ici prenaient un nombre fini de valeurs. Or beaucoup de questions simples n'entrent pas dans ce cadre : « combien de pièces devrai-je tester avant d'en trouver une défectueuse ? » — la réponse peut être $1$ , $2$ , $10$ , $500$ , et aucun majorant ne s'impose. « Combien d'appels le standard recevra-t-il dans la prochaine minute ? » — $0$ , $3$ , $12$ , sans plafond.

Ce chapitre étend les définitions de première année à ces variables, puis étudie les deux lois que le programme retient : la loi géométrique et la loi de Poisson.

AttentionLe cadre exact fixé par le programme

Le programme borne strictement l'ambition théorique du chapitre : « On se limitera aux variables aléatoires positives dont l'image est indexée par $N$ . Aucune difficulté théorique ne sera soulevée au moment de l'extension des propriétés. »

Autrement dit : les définitions de la loi, de la fonction de répartition, de l'espérance et de la variance sont les mêmes qu'en première année, avec une somme infinie à la place d'une somme finie. Rien d'autre ne change, et l'on ne discutera pas de convergence.

5.1 Quand l'univers n'est plus fini

Définition 5.1Variable aléatoire discrète infinie

Une variable aléatoire $X$ est discrète infinie lorsque l'ensemble $X (Ω)$ de ses valeurs est infini et peut être indexé par les entiers : $X (Ω) = N$ , ou $N^{*}$ , ou plus généralement ${x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots}$ .

Sa loi de probabilité est la donnée des nombres $P (X = k)$ pour tout $k \in X (Ω)$ .

ImportantLa somme des probabilités vaut toujours

1

La règle de première année ne change pas, mais la somme devient une série :

$k \in X (Ω) \sum P (X = k) = 1.$

Cette série est convergente, et sa somme vaut $1$ . C'est la première chose à vérifier quand on vous propose une famille de nombres comme loi de probabilité — et c'est presque toujours une série géométrique qui s'en charge.

Exemple 5.2Une infinité de morceaux qui pèsent

1

Posons $P (X = k) = (\frac{1}{2})^{k}$ pour tout entier $k \geq 1$ . Ces nombres sont positifs, et la série géométrique de raison $\frac{1}{2}$ donne

$k \geq 1 \sum (\frac{1}{2})^{k} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1.$

C'est donc bien une loi de probabilité, alors qu'elle attribue une probabilité non nulle à une infinité de valeurs.

AttentionCe qui n'est pas au programme

On ne posera aucune question sur la nature de $Ω$ , ni sur la façon dont on construit une probabilité sur un univers infini. Le programme est net : « Aucune difficulté théorique ne sera soulevée. » On admet que tout fonctionne comme dans le cas fini.

5.2 Fonction de répartition

Définition 5.3Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F$ définie sur $R$ par $F (x) = P (X \leq x)$ .

Proposition 5.4Ses trois propriétés

$F$ est croissante sur $R$ , à valeurs dans $[0, 1]$ , et

$x \to - \infty lim F (x) = 0, x \to + \infty lim F (x) = 1.$

Lorsque $X (Ω) \subset N$ , $F$ est constante entre deux entiers consécutifs et fait un saut de hauteur $P (X = k)$ en chaque entier $k$ .

ImportantLe complémentaire, souvent plus commode

Pour une variable à valeurs entières, on passe sans cesse d'une forme à l'autre :

$P (X > n) = 1 - P (X \leq n), P (X \leq n) = 1 - P (X > n) .$

Sur les lois infinies, $P (X > n)$ se calcule souvent beaucoup plus vite que la somme des $n$ premiers termes : c'est le réflexe du chapitre.

Exercices du chapitre

Est-ce une loi de probabilité ? corrigé
Une loi donnée par une série corrigé
Une loi bâtie sur un télescopage corrigé
Reconnaître la loi du premier succès corrigé
Combien de tests avant un défaut ? corrigé
Dimensionner un contrôle corrigé

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