Variables aléatoires discrètes infinies

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 · prépa ECT, 2e année

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Toutes les variables aléatoires rencontrées jusqu'ici prenaient un nombre fini de valeurs. Or beaucoup de questions simples n'entrent pas dans ce cadre : « combien de pièces devrai-je tester avant d'en trouver une défectueuse ? » — la réponse peut être $1$ , $2$ , $10$ , $500$ , et aucun majorant ne s'impose. « Combien d'appels le standard recevra-t-il dans la prochaine minute ? » — $0$ , $3$ , $12$ , sans plafond.

Ce chapitre étend les définitions de première année à ces variables, puis étudie les deux lois que le programme retient : la loi géométrique et la loi de Poisson.

AttentionLe cadre exact fixé par le programme

Le programme borne strictement l'ambition théorique du chapitre : « On se limitera aux variables aléatoires positives dont l'image est indexée par $N$ . Aucune difficulté théorique ne sera soulevée au moment de l'extension des propriétés. »

Autrement dit : les définitions de la loi, de la fonction de répartition, de l'espérance et de la variance sont les mêmes qu'en première année, avec une somme infinie à la place d'une somme finie. Rien d'autre ne change, et l'on ne discutera pas de convergence.

5.1 Quand l'univers n'est plus fini

Définition 5.1Variable aléatoire discrète infinie

Une variable aléatoire $X$ est discrète infinie lorsque l'ensemble $X (Ω)$ de ses valeurs est infini et peut être indexé par les entiers : $X (Ω) = N$ , ou $N^{*}$ , ou plus généralement ${x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots}$ .

Sa loi de probabilité est la donnée des nombres $P (X = k)$ pour tout $k \in X (Ω)$ .

ImportantLa somme des probabilités vaut toujours

1

La règle de première année ne change pas, mais la somme devient une série :

$k \in X (Ω) \sum P (X = k) = 1.$

Cette série est convergente, et sa somme vaut $1$ . C'est la première chose à vérifier quand on vous propose une famille de nombres comme loi de probabilité — et c'est presque toujours une série géométrique qui s'en charge.

Exemple 5.2Une infinité de morceaux qui pèsent

1

Posons $P (X = k) = (\frac{1}{2})^{k}$ pour tout entier $k \geq 1$ . Ces nombres sont positifs, et la série géométrique de raison $\frac{1}{2}$ donne

$k \geq 1 \sum (\frac{1}{2})^{k} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1.$

C'est donc bien une loi de probabilité, alors qu'elle attribue une probabilité non nulle à une infinité de valeurs.

AttentionCe qui n'est pas au programme

On ne posera aucune question sur la nature de $Ω$ , ni sur la façon dont on construit une probabilité sur un univers infini. Le programme est net : « Aucune difficulté théorique ne sera soulevée. » On admet que tout fonctionne comme dans le cas fini.

5.2 Fonction de répartition

Définition 5.3Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F$ définie sur $R$ par $F (x) = P (X \leq x)$ .

Proposition 5.4Ses trois propriétés

$F$ est croissante sur $R$ , à valeurs dans $[0, 1]$ , et

$x \to - \infty lim F (x) = 0, x \to + \infty lim F (x) = 1.$

Lorsque $X (Ω) \subset N$ , $F$ est constante entre deux entiers consécutifs et fait un saut de hauteur $P (X = k)$ en chaque entier $k$ .

ImportantLe complémentaire, souvent plus commode

Pour une variable à valeurs entières, on passe sans cesse d'une forme à l'autre :

$P (X > n) = 1 - P (X \leq n), P (X \leq n) = 1 - P (X > n) .$

Sur les lois infinies, $P (X > n)$ se calcule souvent beaucoup plus vite que la somme des $n$ premiers termes : c'est le réflexe du chapitre.

5.3 Espérance et variance

Définition 5.5Espérance, variance, écart-type

Lorsque les séries écrites ci-dessous convergent, on pose

$E (X) = k \in X (Ω) \sum k P (X = k), V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}, σ (X) = V (X) .$

ImportantRien de nouveau, sauf le nombre de termes

Les formules sont mot pour mot celles de première année ; seule la somme finie est devenue une série. Toutes les propriétés connues restent vraies : $E (a X + b) = a E (X) + b$ , $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , la formule de Kœnig-Huygens, et la linéarité de l'espérance d'une somme.

AttentionLes espérances de ce chapitre sont ADMISES

Le calcul de $E (X)$ pour la loi géométrique passe par la dérivée d'une série géométrique — et le programme écarte explicitement cet outil : « Les dérivées des séries géométriques ne font pas partie des attendus du programme. »

En face de l'espérance et de la variance des deux lois usuelles, le programme porte donc la mention « Résultats admis ». On les apprend, on les applique, on ne les démontre pas.

5.4 La loi géométrique

Définition 5.6Loi géométrique

On répète, de façon indépendante, une même épreuve dont la probabilité de succès vaut $p \in] 0, 1 [$ . La variable $X$ égale au rang du premier succès suit la loi géométrique de paramètre $p$ , notée $X ↪ G (p)$ . On a $X (Ω) = N^{*}$ et

$P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p pour tout entier k \geq 1.$

Démonstration

L'événement $[X = k]$ signifie : les $k - 1$ premières épreuves sont des échecs, et la $k$ -ième est un succès. Les épreuves étant indépendantes, sa probabilité est le produit $(1 - p) \times \dots \times (1 - p) \times p$ , avec $k - 1$ facteurs $(1 - p)$ .

Proposition 5.7C'est bien une loi de probabilité

Les nombres $(1 - p)^{k - 1} p$ sont positifs, et leur somme vaut $1$ :

$k \geq 1 \sum (1 - p)^{k - 1} p = p j \geq 0 \sum (1 - p)^{j} = p \times \frac{1}{1 - ( 1 - p )} = \frac{p}{p} = 1.$

iRemarqueLe décalage d'indice, en action

On est passé de $k \geq 1$ à $j = k - 1 \geq 0$ : c'est exactement le décalage d'indice du chapitre sur les sommes, et il fait apparaître la série géométrique sous sa forme standard $\sum_{j \geq 0} x^{j} = \frac{1}{1 - x}$ , valable car $∣1 - p ∣ < 1$ .

◆Théorème 5.8Espérance et variance, admises

Si $X ↪ G (p)$ , alors

$E (X) = \frac{1}{p}, V (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} .$

ImportantLa reconnaissance est exigible

Le programme insiste : « La reconnaissance de la loi géométrique comme loi du premier succès est exigible. » Devant un énoncé, on cherche donc trois choses : une même épreuve répétée, des répétitions indépendantes, et une variable qui compte le rang du premier succès. Les trois réunies, la loi est identifiée, et $E (X) = 1/ p$ se lit sans calcul.

Exemple 5.9Contrôle qualité

Une chaîne produit $5 %$ de pièces défectueuses. Un contrôleur teste les pièces une à une, indépendamment, et note $X$ le rang de la première pièce défectueuse : on reconnaît la loi du premier succès, donc $X ↪ G (0, 05)$ .

Ainsi $E (X) = \frac{1}{0 , 05} = 20$ : il faut tester $20$ pièces en moyenne. Et $V (X) = \frac{0 , 95}{0 , 0 5 ^{2}} = 380$ , donc $σ (X) \approx 19, 49$ : la dispersion est énorme, presque égale à la moyenne. Le nombre de tests est très imprévisible.

Proposition 5.10La queue d'une loi géométrique

Si $X ↪ G (p)$ , alors pour tout entier $n \geq 0$ :

$P (X > n) = (1 - p)^{n}, donc P (X \leq n) = 1 - (1 - p)^{n} .$

Démonstration

Dire que $X > n$ , c'est dire que les $n$ premières épreuves sont toutes des échecs : la probabilité vaut $(1 - p)^{n}$ par indépendance. On peut aussi sommer la série $\sum_{k > n} (1 - p)^{k - 1} p = p (1 - p)^{n} \sum_{j \geq 0} (1 - p)^{j} = (1 - p)^{n}$ .

Python : Une série qu'on regarde converger


p = 0.2
somme = 0.0
esperance = 0.0
for k in range(1, 201):
    q = (1 - p)**(k - 1) * p
    somme = somme + q
    esperance = esperance + k * q
print(round(somme, 10), round(esperance, 6))

Sortie : 1.0 5.0. Deux cents termes suffisent à retrouver la somme $1$ et l'espérance $1/ p = 5$ à dix décimales — parce que les termes décroissent géométriquement. La machine corrobore les deux résultats admis ; elle ne les démontre pas, puisqu'elle s'arrête au rang $200$ .

Python : Simuler le premier succès


import random

def premier_succes(p):
    k = 1
    while random.random() >= p:
        k = k + 1
    return k

random.seed(0)
n = 200000
tirages = [premier_succes(0.2) for _ in range(n)]
moyenne = sum(tirages) / n
print(round(moyenne, 4), max(tirages))

Sortie : 4.9861 67. La moyenne empirique approche la valeur exacte $E (X) = 1/ p = 5$ , et le maximum observé rappelle qu'aucune borne ne limite $X$ : sur deux cent mille essais, il a fallu une fois $67$ tirages. C'est très exactement ce que signifie « discrète infinie ».

5.5 La loi de Poisson

Définition 5.11Loi de Poisson

Soit $λ > 0$ . On dit que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $λ$ , notée $X ↪ P (λ)$ , lorsque $X (Ω) = N$ et

$P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} pour tout entier k \geq 0.$

◆Théorème 5.12Espérance et variance, admises

Si $X ↪ P (λ)$ , alors $E (X) = λ$ et $V (X) = λ$ , donc $σ (X) = λ$ .

ImportantCe que

λ

représente

L'espérance et la variance valent toutes les deux $λ$ : c'est la particularité de cette loi, et un moyen commode de la reconnaître. Le paramètre $λ$ se lit donc directement comme le nombre moyen d'occurrences sur la période considérée.

Conséquence pratique : si l'on change de période, on change de $λ$ proportionnellement. Trois appels par minute en moyenne, c'est $λ = 3$ sur une minute, mais $λ = 15$ sur cinq minutes.

Exemple 5.13Un standard téléphonique

Un standard reçoit en moyenne $3$ appels par minute, et l'on modélise par $X ↪ P (3)$ le nombre d'appels d'une minute donnée. Alors

$P (X = 0) = e^{- 3} \approx 0, 0498, P (X \geq 1) = 1 - e^{- 3} \approx 0, 9502.$

Une minute sur vingt environ ne reçoit aucun appel. De même

$P (X \leq 2) = e^{- 3} (1 + 3 + \frac{9}{2}) = 8, 5 e^{- 3} \approx 0, 4232,$

donc $P (X \geq 3) \approx 0, 5768$ : plus d'une minute sur deux est « chargée », au sens où elle reçoit au moins trois appels.

AttentionDeux lois, deux questions différentes

On ne les confond pas si l'on retient la question à laquelle chacune répond.

Géométrique : « au bout de combien d'essais ? » Un rang, donc $X (Ω) = N^{*}$ ; la valeur $0$ n'a aucun sens.
Poisson : « combien d'occurrences pendant cette période ? » Un comptage, donc $X (Ω) = N$ ; la valeur $0$ est possible et fréquente.

Python : La loi de Poisson au clavier


from math import exp, factorial

lam = 3.0
p = [exp(-lam) * lam**k / factorial(k) for k in range(9)]
print([round(v, 4) for v in p[:4]])
print(round(sum(p[:6]), 6), round(1 - sum(p[:6]), 6))

Sortie : [0.0498, 0.1494, 0.224, 0.224], puis 0.916082 0.083918. On lit les deux valeurs égales $P (X = 2) = P (X = 3)$ — un accident propre à $λ = 3$ , puisque $P (X = 3) = \frac{λ}{3} P (X = 2)$ — et le fait que huit minutes sur cent reçoivent six appels ou plus.

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