Couples de variables aléatoires discrètes finies

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 · prépa ECT, 2e année

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En première année, une expérience aléatoire donnait une variable aléatoire, et l'on savait tout d'elle dès qu'on connaissait sa loi. Mais une même expérience en fait naître plusieurs à la fois : un magasin observe la fréquentation de son rayon boulangerie et celle de son rayon pâtisserie. La question nouvelle est celle du lien entre les deux — les connaître séparément n'y suffit pas. Ce chapitre construit l'outil qui le mesure, la covariance, et son cousin sans unité, le coefficient de corrélation.

AttentionCe que le programme demande, et rien de plus

La rubrique s'ouvre sur une phrase qui gouverne tout le chapitre : « Tout excès de technicité est exclu. » Plusieurs résultats portent d'ailleurs la mention « Résultat admis » : l'espérance d'une somme, celle d'un produit de variables indépendantes, et la formule $E (X Y) = \sum x y P ([X = x] \cap [Y = y])$ . Nous les énoncerons sans démonstration, et passerons le temps gagné à les faire fonctionner.

4.1 La loi d'un couple

Définition 4.1Loi conjointe

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même espace, prenant un nombre fini de valeurs. La loi de probabilité du couple $(X, Y)$ , ou loi conjointe, est la donnée de $X (Ω)$ , de $Y (Ω)$ et, pour tout $(x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω)$ , du nombre $P ([X = x] \cap [Y = y])$ , abrégé en $P (X = x, Y = y)$ .

ImportantLes deux règles de tout tableau de loi conjointe

Chaque case est un nombre compris entre $0$ et $1$ , et la somme de toutes les cases vaut exactement $1$ : les événements $[X = x] \cap [Y = y]$ forment un système complet, puisqu'une épreuve réalise un couple de valeurs, et un seul. C'est la première chose à vérifier devant un tableau : un tableau qui somme à $0, 98$ n'est pas une loi, et tout ce qu'on en tirera sera faux.

Exemple 4.2Deux rayons d'un magasin

Un petit magasin observe, sur un créneau d'une heure, le nombre $X$ de clients servis au rayon boulangerie ( $0$ , $1$ ou $2$ ) et le nombre $Y$ de clients servis au rayon pâtisserie ( $0$ ou $1$ ). Un relevé sur un an donne la loi conjointe dessinée ci-dessous. La somme de ses six cases intérieures vaut $0, 15 + 0, 05 + 0, 20 + 0, 20 + 0, 10 + 0, 30 = 1, 00$ : c'est bien une loi, et ce sera le fil rouge du chapitre.

4.2 Lois marginales

Définition 4.3Lois marginales

Les lois de $X$ et de $Y$ , lues séparément à partir de la loi du couple, sont appelées les lois marginales du couple $(X, Y)$ .

Proposition 4.4On somme une ligne, on somme une colonne

Pour tout $x \in X (Ω)$ et tout $y \in Y (Ω)$ :

$P (X = x) = y \in Y (Ω) \sum P (X = x, Y = y), P (Y = y) = x \in X (Ω) \sum P (X = x, Y = y) .$

Démonstration

Les événements $[Y = y]$ , pour $y$ parcourant $Y (Ω)$ , forment un système complet. La formule des probabilités totales appliquée à $[X = x]$ donne la première égalité ; la seconde s'obtient en échangeant les rôles.

Exemple 4.5Les marges du magasin

En sommant les lignes : $P (X = 0) = 0, 20$ , $P (X = 1) = 0, 40$ , $P (X = 2) = 0, 40$ , de total $1$ . En sommant les colonnes : $P (Y = 0) = 0, 15 + 0, 20 + 0, 10 = 0, 45$ et $P (Y = 1) = 0, 05 + 0, 20 + 0, 30 = 0, 55$ , de total $1$ également. On en tire $E (X) = 1 \times 0, 40 + 2 \times 0, 40 = 1, 20$ et $E (Y) = 0, 55$ .

AttentionLes marges ne suffisent pas

Deux couples différents peuvent avoir exactement les mêmes lois marginales : connaître la loi de $X$ et celle de $Y$ ne permet donc pas de reconstituer la loi du couple, et c'est là que loge l'information sur le lien. Le troisième exercice exhibe deux tableaux aux marges identiques, l'un indépendant et l'autre non.

4.3 Lois conditionnelles

Définition 4.6Loi conditionnelle

Soit $x \in X (Ω)$ tel que $P (X = x) \neq = 0$ . La loi conditionnelle de $Y$ sachant $[X = x]$ est la donnée, pour tout $y \in Y (Ω)$ , du nombre

$P_{[X = x]} (Y = y) = \frac{P ( X = x , Y = y )}{P ( X = x )} .$

ImportantUne ligne du tableau, redressée

On isole la ligne $X = x$ , et l'on divise chacune de ses cases par son total : la ligne, qui pesait $P (X = x)$ , pèse alors $1$ . C'est une loi à part entière, et la somme de ses cases est le contrôle qui s'impose.

Exemple 4.7Ce que devient la pâtisserie quand la boulangerie sert deux clients

La ligne $X = 2$ vaut $(0, 10; 0, 30)$ et pèse $0, 40$ , d'où $P_{[X = 2]} (Y = 0) = \frac{0 , 10}{0 , 40} = 0, 25$ et $P_{[X = 2]} (Y = 1) = 0, 75$ ; ces deux nombres somment à $1$ . La ligne $X = 0$ donne au contraire $P_{[X = 0]} (Y = 1) = \frac{0 , 05}{0 , 20} = 0, 25$ : quand la boulangerie a servi deux clients, la pâtisserie en sert un dans $75 %$ des cas, contre $25 %$ seulement quand elle n'a servi personne. Les deux rayons vont ensemble.

4.4 Indépendance de deux variables aléatoires

Définition 4.8Variables indépendantes

$X$ et $Y$ sont indépendantes si, pour tous intervalles réels $I$ et $J$ , les événements $[X \in I]$ et $[Y \in J]$ sont indépendants.

◆Théorème 4.9Le critère qui sert vraiment

$X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si, pour tout couple $(x, y)$ de $X (Ω) \times Y (Ω)$ , on a $P (X = x, Y = y) = P (X = x) \times P (Y = y)$ : chaque case du tableau est le produit de ses deux marges.

iRemarqueUne variable constante est indépendante de tout

Si $X$ est constante égale à $c$ , alors $P (X = c) = 1$ et $P (X = c, Y = y) = P (Y = y) = 1 \times P (Y = y)$ : le critère est vérifié. Une variable qui ne varie pas ne peut renseigner sur rien.

Exemple 4.10Un couple indépendant

Gardons trois valeurs pour $X$ et deux pour $Y$ , mais avec le tableau de la figure suivante : ses lignes pèsent $0, 25$ , $0, 50$ et $0, 25$ , ses colonnes $0, 40$ et $0, 60$ . Les six cases somment à $1$ , et chacune est le produit de ses marges : $0, 25 \times 0, 40 = 0, 10$ , $0, 25 \times 0, 60 = 0, 15$ , $0, 50 \times 0, 40 = 0, 20$ , $0, 50 \times 0, 60 = 0, 30$ , la troisième ligne répétant la première. Les six égalités étant vraies, $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Exemple 4.11Le magasin n'est pas un couple indépendant

Testons la première case du fil rouge : $P (X = 0) \times P (Y = 0) = 0, 20 \times 0, 45 = 0, 09$ , alors que $P (X = 0, Y = 0) = 0, 15$ . Les deux variables ne sont donc pas indépendantes.

AttentionProuver, ou réfuter : ce n'est pas le même travail

Pour réfuter l'indépendance, une case en défaut suffit. Pour l'établir, il faut vérifier toutes les cases : $3 \times 2 = 6$ égalités ici. L'erreur classique consiste à conclure « indépendantes » après en avoir vérifié une.

4.5 Espérance d'une somme, espérance d'un produit

◆Théorème 4.12Linéarité de l'espérance

Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même espace et tous réels $a$ et $b$ , on a $E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y)$ ; en particulier $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ .

ImportantCette formule ne demande AUCUNE hypothèse

L'espérance d'une somme est la somme des espérances toujours, que les variables soient indépendantes ou non. C'est l'une des rares propriétés du cours qui ne se paie d'aucune condition.

◆Théorème 4.13Espérance d'un produit

$E (X Y) = (x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω) \sum x y P ([X = x] \cap [Y = y]) .$

Si de plus $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $E (X Y) = E (X) E (Y)$ .

AttentionTrois résultats admis, et le programme le dit

Le programme porte la mention « Résultat admis » en face de l'espérance d'une somme, de la formule ci-dessus et du cas indépendant. Ces trois énoncés ne sont donc pas à démontrer ; ils sont à savoir appliquer.

Exemple 4.14Le produit, sur le magasin

Seuls les couples avec $x \geq 1$ et $y = 1$ contribuent, les autres ayant un produit nul : $E (X Y) = 0, 20 + 2 \times 0, 30 = 0, 80$ , alors que $E (X) E (Y) = 1, 20 \times 0, 55 = 0, 66$ . C'est une seconde preuve de la dépendance — et déjà, à une soustraction près, la covariance.

Python : Le tableau, en fractions exactes


from fractions import Fraction as F

P = {(0,0):F(15,100), (0,1):F(5,100),
     (1,0):F(20,100), (1,1):F(20,100),
     (2,0):F(10,100), (2,1):F(30,100)}

print(sum(P.values()))
EX  = sum(x*p for (x, y), p in P.items())
EY  = sum(y*p for (x, y), p in P.items())
EXY = sum(x*y*p for (x, y), p in P.items())
print(EX, EY, EXY)
print(EXY - EX*EY)

Sortie : 1 — la loi est valide ; puis 6/5 11/20 4/5, soit $E (X) = 1, 20$ , $E (Y) = 0, 55$ et $E (X Y) = 0, 80$ ; enfin 7/50, c'est-à-dire $0, 14$ exactement — les Fraction écartent tout arrondi.

4.6 Covariance

Définition 4.15Covariance

La covariance de $X$ et $Y$ est le nombre $Cov (X, Y) = E ((X - E (X)) (Y - E (Y)))$ .

◆Théorème 4.16Formule de Kœnig-Huygens

$Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ .

Démonstration

En développant et en utilisant la linéarité de l'espérance, avec $m = E (X)$ , $n = E (Y)$ : $E ((X - m) (Y - n)) = E (X Y) - n E (X) - m E (Y) + mn = E (X Y) - mn$ .

ImportantC'est cette formule qu'on utilise, jamais la définition

La définition dit ce qu'est la covariance ; Kœnig-Huygens dit comment on la calcule : trois espérances et une soustraction. Pour $Y = X$ , on retrouve $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ .

Proposition 4.17Propriétés de la covariance

Pour toutes variables $X$ , $Y$ , $Z$ et tous réels $a$ , $b$ : symétrie, $Cov (X, Y) = Cov (Y, X)$ ; linéarité à gauche, $Cov (a X + b Z, Y) = a Cov (X, Y) + b Cov (Z, Y)$ , et de même à droite ; enfin $Cov (X, a) = 0$ pour toute constante $a$ , et $Cov (X, X) = V (X)$ .

Exemple 4.18La covariance du magasin

$Cov (X, Y) = 0, 80 - 1, 20 \times 0, 55 = 0, 14$ . Elle est positive : les deux rayons varient dans le même sens, et une heure chargée en boulangerie est plutôt une heure chargée en pâtisserie.

◆Théorème 4.19Indépendance et covariance

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov (X, Y) = 0$ .

Démonstration

L'indépendance donne $E (X Y) = E (X) E (Y)$ ; la formule de Kœnig-Huygens conclut aussitôt, puisque $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0$ .

AttentionLa réciproque est FAUSSE, et le programme l'écrit

Le programme est explicite : « Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, leur covariance est nulle, la réciproque étant fausse. » Il existe donc des couples de covariance nulle dont les variables sont étroitement liées : la covariance ne détecte que les liens de type linéaire. Écrire « covariance nulle donc indépendantes » est une faute.

Exemple 4.20Covariance nulle, et pourtant tout est lié

Le cours d'une action varie chaque jour de $X = - 1$ , $0$ ou $+ 1$ euro, ces trois valeurs étant équiprobables. Le courtier facture $1$ euro de frais dès que le cours bouge, et rien sinon : la variable $Y$ des frais vaut donc $Y = X^{2}$ .

La covariance est nulle. $E (X) = \frac{- 1 + 0 + 1}{3} = 0$ et $E (X Y) = E (X^{3}) = \frac{1}{3} ((- 1)^{3} + 0^{3} + 1^{3}) = 0$ , donc $Cov (X, Y) = 0 - 0 \times E (Y) = 0$ .

Elles sont pourtant tout sauf indépendantes : $Y$ est une fonction de $X$ , et $P (X = 0, Y = 0) = \frac{1}{3}$ alors que $P (X = 0) \times P (Y = 0) = \frac{1}{9}$ . Connaître $Y$ , c'est savoir si le cours a bougé ; ce n'est pas rien.

Python : Vérifier le contre-exemple


from fractions import Fraction as F

P = {(-1,1):F(1,3), (0,0):F(1,3), (1,1):F(1,3)}
EX  = sum(x*p for (x, y), p in P.items())
EY  = sum(y*p for (x, y), p in P.items())
EXY = sum(x*y*p for (x, y), p in P.items())
print(EX, EY, EXY, EXY - EX*EY)
print(P[(0, 0)], F(1,3) * F(1,3))

Sortie : 0 2/3 0 0 — la covariance est exactement nulle ; puis 1/3 1/9, les deux nombres du critère d'indépendance, qui diffèrent : covariance nulle, et dépendance totale.

4.7 Variance d'une somme

◆Théorème 4.21Variance d'une somme

Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ : $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)$ . Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, la covariance est nulle et $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ .

Démonstration

Par bilinéarité et symétrie de la covariance, puis $Cov (Z, Z) = V (Z)$ : $V (X + Y) = Cov (X + Y, X + Y) = Cov (X, X) + 2 Cov (X, Y) + Cov (Y, Y)$ .

AttentionLa variance n'est pas linéaire

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ sans condition ; $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ seulement si la covariance est nulle. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Et l'on n'écrit jamais $V (2 X) = 2 V (X)$ : la bonne formule est $V (a X) = a^{2} V (X)$ .

Exemple 4.22Le total des deux rayons

$E (X^{2}) = 1 \times 0, 40 + 4 \times 0, 40 = 2$ donne $V (X) = 2 - 1, 2 0^{2} = 0, 56$ ; comme $Y$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ , $E (Y^{2}) = E (Y) = 0, 55$ et $V (Y) = 0, 55 - 0, 5 5^{2} = 0, 2475$ . Le nombre total $S = X + Y$ de clients servis vérifie donc $E (S) = 1, 75$ et $V (S) = 0, 56 + 0, 2475 + 2 \times 0, 14 = 1, 0875$ .

Contrôle par la loi de $S$ . En regroupant les cases : $P (S = 0) = 0, 15$ , $P (S = 1) = 0, 25$ , $P (S = 2) = 0, 30$ et $P (S = 3) = 0, 30$ , de somme $1$ . Alors $E (S) = 0, 25 + 0, 60 + 0, 90 = 1, 75$ et $E (S^{2}) = 0, 25 + 1, 20 + 2, 70 = 4, 15$ , d'où $V (S) = 4, 15 - 1, 7 5^{2} = 1, 0875$ . Les deux chemins donnent le même nombre.

4.8 Coefficient de corrélation linéaire

ImportantPourquoi la covariance ne suffit pas

La covariance porte des unités : si $X$ est en euros et $Y$ en kilogrammes, passer les euros en centimes la multiplie par $100$ sans que rien n'ait changé dans le phénomène. On ne peut donc pas comparer deux covariances, et le nombre $0, 14$ du magasin ne dit, seul, ni « beaucoup » ni « peu ».

Définition 4.23Coefficient de corrélation linéaire

Lorsque $σ (X) σ (Y) \neq = 0$ , on pose $ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )}$ .

◆Théorème 4.24Encadrement, et cas d'égalité

Pour toutes variables $X$ et $Y$ d'écarts-types non nuls, $ρ (X, Y) \leq 1$ . De plus $ρ (X, Y) = \pm 1$ si et seulement s'il existe des réels $a \neq = 0$ et $b$ tels que $Y = a X + b$ (avec probabilité $1$ ) ; le signe de $ρ$ est alors celui de $a$ .

ImportantComment on lit un coefficient de corrélation

$ρ$ est sans unité : il ne change pas si l'on convertit les euros en centimes, et deux couples deviennent comparables. Son signe est celui de la covariance — sens de variation commun ou opposé. Sa valeur absolue mesure à quel point le nuage se resserre autour d'une droite : à $1$ , les points sont exactement alignés.

Exemple 4.25La corrélation du magasin

$σ (X) = 0, 56 \approx 0, 7483$ et $σ (Y) = 0, 2475 \approx 0, 4975$ , donc $ρ (X, Y) = \frac{0 , 14}{0 , 7483 \times 0 , 4975} \approx 0, 376$ : le lien est positif et modéré. Deux variables indépendantes donneraient $ρ = 0$ , et $Y = 3 X + 2$ donnerait $ρ = 1$ exactement.

AttentionDeux pièges qu'on confond souvent

Un $ρ$ proche de $1$ ne dit pas que $X$ cause $Y$ : les ventes de glaces et les noyades sont fortement corrélées, et c'est la chaleur qui agit sur les deux. Et un $ρ$ nul ne dit pas que $X$ et $Y$ sont indépendantes — le cours de bourse et les frais donnent $ρ = 0$ avec une dépendance totale.

Python : Une simulation corrobore, elle ne démontre pas


import random

def tirage():
    u = random.random()
    if u < 0.15: return (0, 0)
    if u < 0.20: return (0, 1)
    if u < 0.40: return (1, 0)
    if u < 0.60: return (1, 1)
    if u < 0.70: return (2, 0)
    return (2, 1)

random.seed(0)
n = 200000
c = [tirage() for _ in range(n)]
mx  = sum(x for x, y in c) / n
my  = sum(y for x, y in c) / n
mxy = sum(x*y for x, y in c) / n
print(round(mx, 4), round(my, 4), round(mxy - mx*my, 4))

Sortie : 1.1981 0.5498 0.1414, à comparer aux valeurs exactes $E (X) = 1, 20$ , $E (Y) = 0, 55$ et $Cov (X, Y) = 0, 14$ . Deux cent mille tirages donnent trois décimales ; ils ne donneront jamais la quatrième à coup sûr.

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