Couples de variables aléatoires discrètes finies

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le croisement de deux variables qualitatives : la surface de chaque case est proportionnelle à son effectif.

En première année, une expérience aléatoire donnait une variable aléatoire, et l'on savait tout d'elle dès qu'on connaissait sa loi. Mais une même expérience en fait naître plusieurs à la fois : un magasin observe la fréquentation de son rayon boulangerie et celle de son rayon pâtisserie. La question nouvelle est celle du lien entre les deux — les connaître séparément n'y suffit pas. Ce chapitre construit l'outil qui le mesure, la covariance, et son cousin sans unité, le coefficient de corrélation.

AttentionCe que le programme demande, et rien de plus

La rubrique s'ouvre sur une phrase qui gouverne tout le chapitre : « Tout excès de technicité est exclu. » Plusieurs résultats portent d'ailleurs la mention « Résultat admis » : l'espérance d'une somme, celle d'un produit de variables indépendantes, et la formule $E (X Y) = \sum x y P ([X = x] \cap [Y = y])$ . Nous les énoncerons sans démonstration, et passerons le temps gagné à les faire fonctionner.

4.1 La loi d'un couple

Définition 4.1Loi conjointe

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même espace, prenant un nombre fini de valeurs. La loi de probabilité du couple $(X, Y)$ , ou loi conjointe, est la donnée de $X (Ω)$ , de $Y (Ω)$ et, pour tout $(x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω)$ , du nombre $P ([X = x] \cap [Y = y])$ , abrégé en $P (X = x, Y = y)$ .

ImportantLes deux règles de tout tableau de loi conjointe

Chaque case est un nombre compris entre $0$ et $1$ , et la somme de toutes les cases vaut exactement $1$ : les événements $[X = x] \cap [Y = y]$ forment un système complet, puisqu'une épreuve réalise un couple de valeurs, et un seul. C'est la première chose à vérifier devant un tableau : un tableau qui somme à $0, 98$ n'est pas une loi, et tout ce qu'on en tirera sera faux.

Exemple 4.2Deux rayons d'un magasin

Un petit magasin observe, sur un créneau d'une heure, le nombre $X$ de clients servis au rayon boulangerie ( $0$ , $1$ ou $2$ ) et le nombre $Y$ de clients servis au rayon pâtisserie ( $0$ ou $1$ ). Un relevé sur un an donne la loi conjointe dessinée ci-dessous. La somme de ses six cases intérieures vaut $0, 15 + 0, 05 + 0, 20 + 0, 20 + 0, 10 + 0, 30 = 1, 00$ : c'est bien une loi, et ce sera le fil rouge du chapitre.

4.2 Lois marginales

Définition 4.3Lois marginales

Les lois de $X$ et de $Y$ , lues séparément à partir de la loi du couple, sont appelées les lois marginales du couple $(X, Y)$ .

Proposition 4.4On somme une ligne, on somme une colonne

Pour tout $x \in X (Ω)$ et tout $y \in Y (Ω)$ :

$P (X = x) = y \in Y (Ω) \sum P (X = x, Y = y), P (Y = y) = x \in X (Ω) \sum P (X = x, Y = y) .$

Démonstration

Les événements $[Y = y]$ , pour $y$ parcourant $Y (Ω)$ , forment un système complet. La formule des probabilités totales appliquée à $[X = x]$ donne la première égalité ; la seconde s'obtient en échangeant les rôles.

Exemple 4.5Les marges du magasin

En sommant les lignes : $P (X = 0) = 0, 20$ , $P (X = 1) = 0, 40$ , $P (X = 2) = 0, 40$ , de total $1$ . En sommant les colonnes : $P (Y = 0) = 0, 15 + 0, 20 + 0, 10 = 0, 45$ et $P (Y = 1) = 0, 05 + 0, 20 + 0, 30 = 0, 55$ , de total $1$ également. On en tire $E (X) = 1 \times 0, 40 + 2 \times 0, 40 = 1, 20$ et $E (Y) = 0, 55$ .

AttentionLes marges ne suffisent pas

Deux couples différents peuvent avoir exactement les mêmes lois marginales : connaître la loi de $X$ et celle de $Y$ ne permet donc pas de reconstituer la loi du couple, et c'est là que loge l'information sur le lien. Le troisième exercice exhibe deux tableaux aux marges identiques, l'un indépendant et l'autre non.

4.3 Lois conditionnelles

Définition 4.6Loi conditionnelle

Soit $x \in X (Ω)$ tel que $P (X = x) \neq = 0$ . La loi conditionnelle de $Y$ sachant $[X = x]$ est la donnée, pour tout $y \in Y (Ω)$ , du nombre

$P_{[X = x]} (Y = y) = \frac{P ( X = x , Y = y )}{P ( X = x )} .$

ImportantUne ligne du tableau, redressée

On isole la ligne $X = x$ , et l'on divise chacune de ses cases par son total : la ligne, qui pesait $P (X = x)$ , pèse alors $1$ . C'est une loi à part entière, et la somme de ses cases est le contrôle qui s'impose.

Exemple 4.7Ce que devient la pâtisserie quand la boulangerie sert deux clients

La ligne $X = 2$ vaut $(0, 10; 0, 30)$ et pèse $0, 40$ , d'où $P_{[X = 2]} (Y = 0) = \frac{0 , 10}{0 , 40} = 0, 25$ et $P_{[X = 2]} (Y = 1) = 0, 75$ ; ces deux nombres somment à $1$ . La ligne $X = 0$ donne au contraire $P_{[X = 0]} (Y = 1) = \frac{0 , 05}{0 , 20} = 0, 25$ : quand la boulangerie a servi deux clients, la pâtisserie en sert un dans $75 %$ des cas, contre $25 %$ seulement quand elle n'a servi personne. Les deux rayons vont ensemble.

4.4 Indépendance de deux variables aléatoires

Définition 4.8Variables indépendantes

$X$ et $Y$ sont indépendantes si, pour tous intervalles réels $I$ et $J$ , les événements $[X \in I]$ et $[Y \in J]$ sont indépendants.

Exercices du chapitre

Lire un tableau, et le vérifier corrigé
Lois conditionnelles corrigé
Deux tableaux, les mêmes marges corrigé
Reconstruire un tableau corrigé
Fabriquer une covariance nulle sans indépendance corrigé
Une seule égalité suffit corrigé

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